Fenomeno De Transporte
Artigos Científicos: Fenomeno De Transporte. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: • 20/5/2014 • 8.789 Palavras (36 Páginas) • 951 Visualizações
1 MECÂNICA _____________________________________________________________________ 1
1.1 Introdução ____________________________________________________________________ 1
1.2 Conceitos Fundamentais _________________________________________________________ 2
1.3 Sistema Internacional de Unidades _________________________________________________ 2
1.4 Trigonometria__________________________________________________________________ 4
1.5 Alfabeto Grego _________________________________________________________________ 6
2 ESTÁTICA ______________________________________________________________________ 7
2.1 Forças no plano ________________________________________________________________ 7
2.2 Equilíbrio de um ponto material ___________________________________________________ 7
2.3 Resultante de uma força _________________________________________________________ 8
2.4 Momento de uma força _________________________________________________________ 14
2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares _____________________________________ 14
2.4.2 Teorema de Varignon ________________________________________________________ 14
2.4.3 Momento de um binário ______________________________________________________ 15
2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos ___________________________________________________ 18
2.5 Apoios _______________________________________________________________________ 19
2.6 Tipos de Estruturas ____________________________________________________________ 20
2.6.1 Estruturas hipostáticas _______________________________________________________ 20
2.6.2 Estruturas isostáticas_________________________________________________________ 20
2.6.3 Estruturas hiperestáticas______________________________________________________ 20
3 TRELIÇAS _____________________________________________________________________ 21
3.1 Definição ____________________________________________________________________ 21
3.2 Método do equilíbrio dos nós _____________________________________________________ 22
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES_____________________________________________________ 28
4.1 Introdução ___________________________________________________________________ 28
4.2 Diagrama tensão-deformação ____________________________________________________ 29
4.3 Tensão admissível______________________________________________________________ 30
4.4 Lei de Hooke__________________________________________________________________ 30
4.4.1 Coeficiente de Poisson________________________________________________________ 32
4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke - Teoria da Elasticidade _______________________________32
4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas ___________________________________________ 35
4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas _______________________________________________ 38
4.7 Tensão de cisalhamento_________________________________________________________ 41
5 MOMENTO DE INERCIA DAS FIGURAS PLANAS____________________________________ 44
5.1 Área_________________________________________________________________________ 44
5.2 Momento Estático (ou Momento de Inércia___________________________________________45
5.3 Centro de Gravidade____________________________________________________________ 46
5.4 Momento de Inércia ____________________________________________________________ 50
5.5 Translação de eixos ____________________________________________________________ 51
5.6 Módulo Resistente _____________________________________________________________ 53
5.7 Raio de Giração _______________________________________________________________ 54
6 ESFORÇOS SOLICITANTES______________________________________________________ 57
6.1 Introdução ___________________________________________________________________ 57
6.2 Classificação dos esforços solicitantes _____________________________________________ 57
6.3 Convenção de sinais____________________________________________________________ 58
7 VIGAS _________________________________________________________________________ 60
7.1 Introdução ___________________________________________________________________ 60
7.2 Tipos de cargas________________________________________________________________ 60
7.2.1 Cargas distribuídas __________________________________________________________ 60
7.3 Apoios ou vínculos _____________________________________________________________ 61
7.4 Equações diferenciais de equilíbrio________________________________________________ 75
8 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO_________________________________________ 85
8.1 Hipóteses admitidas ____________________________________________________________ 85
8.2 Tensões normais na flexão ______________________________________________________ 86
8.3 Tensões de cisalhamento na flexão ________________________________________________ 92
9 DEFORMAÇÕES NAS VIGAS _____________________________________________________ 97
BIBLIOGRAFIA ____________________________________________________________________ 104
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Curso Prático & Objetivo
Resistência dos Materiais - Apostila II
LISTA DE SÍMBOLOS
letras maiúsculas
A área
E módulo de elasticidade
F força
I momento de inércia
L comprimento
M momento, momento fletor
Ms momento estático
N força normal
P carga concentrada
R resultante de forças, esforço
resistente
S esforço solicitante
V força cortante
letras minúsculas
a aceleração
b largura
g aceleração da gravidade
h dimensão, altura
l comprimento
m metro, massa
max máximo
min mínimo
q carga distribuída
s segundo
v deslocamento vertical
x distância da linha neutra ao ponto de
maior encurtamento na seção
transversal de uma peça fletida
letras gregas
α, θ ângulo, coeficiente
δ deslocamento
φ diâmetro
ε deformação específica
f γ coeficiente de majoração das ações
σ tensão normal
σ tensão normal admissível
τ tensão tangencial
τ tensão tangencial admissível
υ coeficiente de Poisson
índices
adm admissível
c compressão
f ação
t tração, transversal
w alma das vigas
max máximo
min mínimo
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Curso Prático & Objetivo
1
1 MECÂNICA
1.1 Introdução
A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos
movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de
corpos sob a ação de forças.
A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim,
os fundamentos para as aplicações da Engenharia.
A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos,
Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos, como indicado abaixo.
Estática
Mecânica dos corpos rígidos Cinemática
Dinâmica
Mecânica Mecânica dos corpos deformáveis Resistência dos Materiais
Fluídos incompressíveis → líquidos
Mecânica dos fluídos
Fluídos compressíveis → gases
Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em Estática, Cinemática e Dinâmica.
A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio,
independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos analisados
são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos independem das
propriedades do material.
A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem:
• movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para
quaisquer trechos de trajetória;
• movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de valores iguais
em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será
uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente
retardado;
• movimentos de rotação.
A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força).
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2
Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são
absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas
deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as condições de
equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada.
No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura
do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos
Materiais, Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos, como também são
conhecidas.
O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência
mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais.
Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos
incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão do
estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.
1.2 Conceitos Fundamentais
Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtonia:
• espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material,
o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto
de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são
conhecidos como as coordenadas do ponto;
• tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O
tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado;
• força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a
produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de
aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um
vetor;
1.3 Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e
unidades derivadas.
As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades
derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc...
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as
três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições.
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de
Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2.
As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados
dinamômetros.
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3
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação
P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de
massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade.
A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida
por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1
metro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m2 . Pascal é também
unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento).
Múltiplos e submúltiplos
Nome Símbolo fator pelo qual a unidade é multiplicada
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
mega M 106 = 1 000 000
quilo k 103 = 1 000
hecto h 102 = 100
deca da 10
deci d 10-1 = 0,1
centi c 10-2 = 0,01
mili m 10-3 = 0,001
micro μ 10-6 = 0,000 001
nano n 10-9 = 0,000 000 001
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001
Conversão de Unidades
A unidade é equivalente a
1MPa 1 N/mm2
1 MPa 1 x 106 N/m2
1 GPa 1 x 109 N/m2
1 m 100 cm
1 cm 0,01 m
1 kgf 9,81 N
1 kgf 2,20 lb
1 polegada (ou 1") 2,54 cm
1 m2 10000 cm2
Exemplo de conversão de medidas de pressão:
2 2 ×104
= =
cm
N
m
Pa N
10 10
10 10
2 4 2
6
2
6
×
=
×
×
=
×
=
cm
kN
cm
N
m
MPa N
2
2
2 4
9
2
9 10
10
10 10
cm
kN
cm
N
m
GPa N ×
=
×
×
=
×
=
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4
1.4 Trigonometria
Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da
trigonometria.
A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e
determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos
ângulos de um triângulo.
Círculo e Funções Trigonométricas
senα = EF
cosα = OF
tgα = AB
cot gα = DC
secα = OB
cos ecα = OC
OE = R = 1
Triângulo retângulo
No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A
hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: a2 = b2 + c2 .
Relações trigonométricas
a
c
hipotenusa
senα = cateto oposto =
a
b
hipotenusa
cosα = cateto adjacente =
b
c
cateto adjacente
tgα = cateto oposto =
b
a
cateto adjacente
secα = hipotenusa =
b
α = arctg c
a
α = arcsen c
a
α = arccos b
C b
a
α
A
B
c
triângulo retângulo
Relação fundamental da trigonometria: sen2 x + cos2 x =1
Razões Trigonométricas Especiais
30º 45º 60º
Seno
2
1
2
2
2
3
Cosseno
2
3
2
2 2
1
Tangente
3
3 1 3
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Exemplos
1. Calcule o valor de c da figura
20
sen30º = c
2 20
1 = c
2c = 20 c = 10 m
2. Determine o valor de b da figura
20
cos30º = b
2 20
3 = b
2b = 20 3 b = 10 3 m
b
20 m
30°
c
3. Calcule o valor de a da figura
a2 = 42 + 32
a = 42 + 32 a = 5 m
4. Determine o valor do ângulo α da figura
4
α = arctg 3 α = 36,87º
4 m
α
a
3 m
Triângulo qualquer
Lei dos senos: R
C
c
B
b
A
a 2
sen sen sen
= = =
Lei dos cossenos
a2 = b2 + c2 − 2bc × cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac × cosB
c2 = a2 + b2 − 2ab × cosC
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1.5 Alfabeto Grego
Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as
quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento
para as práticas comuns da Engenharia.
Alfabeto Grego
Símbolo
Nome
Maiúscula Minúscula
Alfa Α α
Beta Β β
Gama Γ γ
Delta Δ δ
Épsilon Ε ε
Zeta Ζ ζ
Eta Η η
Teta Θ θ
Iota Ι ι
Capa Κ κ
Lambda Λ λ
Mi Μ μ
Ni Ν ν
Csi Ξ ξ
Ômicron Ο ο
Pi Π π
Rô Ρ ρ
Sigma Σ σ
Thau Τ τ
Upsilon Υ υ
Phi Φ ϕ
Chi Χ χ
Psi Ψ ψ
Omega Ω ω
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2 ESTÁTICA
2.1 Forças no plano
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu
ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.
A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de
Unidades (SI).
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo
da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo,
como indicado na Figura 1 abaixo.
F
α
F
α
Figura 2.1
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).
Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto
de um corpo.
Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos
diversos de um mesmo corpo.
2.2 Equilíbrio de um ponto material
Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se
ocupasse um ponto no espaço.
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula,
este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se
a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em
repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com
velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”.
Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material,
escreve-se:
ΣF = R = 0
onde:
F = força
R = resultante das forças
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8
A representação gráfica de todas as
forças que atuam em um ponto material
pode ser representada por um diagrama de
corpo livre, como indica a figura ao lado.
F3
F2
A
F4 F1
Figura 2.2
Exemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio
As condições necessárias e suficientes
para o equilíbrio são:
Σ = 0 x F
ΣF = 1500 −1000sen30º−2000sen30º = 0 x
Σ = 1500 − 500 −1000 = 0 x F ok
Σ = 0 y F
Σ = 2000cos30º−1000cos30º−866 = 0 y F
Σ = 1732 − 866 − 866 = 0 y F ok
A F1 = 1500N x
F3 = 1000N F = 866N 2
30°
y
F4 = 2000N
30°
Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio
2.3 Resultante de uma força
Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto
material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre
esse ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de
um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo
grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou
analíticas.
a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de
três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de
forças, como indicado nas figuras abaixo.
Regra do paralelogramo
Q
A P A P
Q
R R
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Regra do Triângulo
A
Q
A
R=P+Q
P
Q
P
R=P+Q
Composição de forças
R=F1+F2-F3
F3
R=F1+F2
F1
F1
R=F1+F2+F3
F2
F3
F3
F2 F3
Decomposição de forças F
Fx
y
x
y
F
b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações de
equilíbrio.
Exemplos
Determinar a Resultante das duas forças P e
Q agem sobre o parafuso A.
Q=60 N
25º
A 20º P=40 N
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10
a. Soluções gráficas
35.0°
R=98 N
A 20º
25º
P=40 N
Q=60 N
R=98 N
Q=60 N
A P=40 N
35.0°
Regra do paralelogramo Regra do triângulo
b. Solução analítica: trigonometria
Cálculo da força resultante:
Lei dos cossenos: R2 = P2 + Q2 − 2PQcos B
R2 = 602 + 402 − 2 × 40 × 60 × cos155º
R = 97,7N
Cálculo do ângulo α
Lei dos senos
R
senB
Q
senA =
97,7
155º
60
senA = sen
senA = 0,25 A = 15º
α = A + 20º α = 15º+20º = 35º
A
R
Q=60 N
α
P=40 N
B 155°
C
Sabendo-se que o parafuso está fixo, portanto em equilíbrio, existem forças de
reação que equilibram as forças Q e P. Este princípio é explicado pela terceira lei de
Newton: “A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção
e sentido contrário”.
Portanto, o parafuso está
reagindo por uma força de
mesma intensidade da resultante
de P e Q, mas em sentido
contrário. A força de reação
pode ser decomposta em duas
forças Fx e Fy, que são suas
projeções sobre os eixos (x e y).
F N x = 97,7 × cos35º = 80
F sen N y = 97,7 × 35º = 56
A
R=97,7 N
35°
Fx=80 N 20º
Fy=56 N
R=97,7 N
P=40 N
25º
Q=60 N
35.0°
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Verificação do equilíbrio do ponto A
Para que o ponto A esteja em equilíbrio é necessário que a somatória de todas as forças que
agem no ponto A sejam nulas, ou seja: 0
1
= Σ=
n
i
n F
y
Q=60 N
Fy=56 N
x
25º
Fx=80 N A 20º P=40 N
ΣFx = 0
ΣFx = 60 × cos 45º+40 × cos 20º−80 = 0
0 = 0 ok
ΣFy = 0
ΣF = 60 × sen45º+40 × sen20º−56 = 0 y
0 = 0 ok
Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da
atração da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força de atração
exercida pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (P). a intensidade do
peso P de um ponto material de massa m é expresso como.
P = m⋅ g
onde g=9,81 m/s2 é a aceleração da gravidade.
2. Determinar as forças
nos cabos.
P = m⋅ g
P = 75 (kg) × 9,81 (m / s2 )
P = 736 N
50° A 30°
75 kg
C
B
736 N
80°
60°
TAC
40°
TAB
solução gráfica: desenho do polígono de forças.
80º
736
60º sen40º sen
T
sen
T AB = AC =
TAB = 647 N e TAC = 480 N
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12
50°
30° A
736 N
TAB
TAC
solução analítica: equações de equilíbrio.
Σ = 0 Fx
⋅ cos30º− ⋅ cos50º = 0 TAC TAB
cos30º
⋅ cos50º
= AB
AC
T T (1)
Σ = 0 Fy
TAB ⋅ sen50º+TAC ⋅ sen30º−736 = 0
Substituindo TAC pela relação (1), tem-se
30º 736
cos30º
50º cos50º ⋅ =
⋅
T ⋅ sen + TAB sen
AB
TAB = 647 N e TAC = 480 N
Exercícios
1. Determinar a força F e o ângulo α.
A
TA =2,5 kN TB = 2,5 kN
F
y
α
x
20° 50°
C
20° B 50°
α
F
Respostas: F=2,85 kN e α = 74,7º
2. Determinar as forças nos cabos
x
y
60°
20°
TA
TB
P
m=50 kg
A
60°
20°
B
Respostas: TA = 761,3 N e TB = 381 N
3. Determinar a resultante do
sistema de forças indicado e o seu
ângulo de inclinação em relação ao
eixo x.
70°
F3 = 15 N
F1 = 10 N
50° x
F2 = 20 N
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13
Roteiro:
a. Determinar inicialmente a resultante entre as forças F1 e F2 e seu respectivo ângulo (α12)
em relação ao eixo x. Chamar a resultante de R12;
b. Em seguida, determinar a resultante de todo o sistema, chamando-a de R123 (R123 é a
resultante entre R12 e F3);
c. Finalmente, determinar o ângulo (α123) de R123 em relação ao eixo x.
Respostas: R123 = 32,19 N e α123 = 61,46º
4. Determinar o valor da força F.
a)
y
x
159,65 N
300 N
20°
60°
F
b)
x
F 60°
346,41 N
30°
200 N y
Resp. F = 314,41 N Resp. F = 400 N
c)
F
y
x
45°
45°
141,42 N
141,42 N
d)
y
x
30° F
60°
45°
250 N
120 N
91,9 N
Resp. F = 200 N Resp. F = 255,45 N
e)
329,36 N
100 N
100 N
F
60°
70°
45°
x
y
f)
65°
61 kg
45°
F
450 N
Resp. F = 321,74 N Resp. F=268,95 N
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14
2.4 Momento de uma força
Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido
em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância de F em ao
eixo fixo.
Considere-se uma força F que atua em um
corpo rígido fixo no ponto 0, como indicado na
figura.
A força F é representada por um vetor que
define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a
distância perpendicular de 0 à linha de ação de F.
0
A
d
M0
F
Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo
M = F × d 0
onde: M0= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0
0 = pólo ou centro de momento
d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de
alavanca
O momento M0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido
de M0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F.
Convenciona-se momento positivo
se a força F tender a girar o corpo no
sentido anti-horário e negativo, se tender a
girar o corpo no sentido horário.
M+ MNo
SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m).
Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m).
2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares
Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em
relação ao ponto 0, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo
ponto 0.
0
A
A
F F
3
1
1 2
A2
b1 b2
b3 F3
Σ=
=
n
i
S Fi
M M
1
,0 ,0
2.4.2 Teorema de Varignon
Seja R a resultante do sistema de forças S. “O
Momento da resultante de um sistema de forças em relação a
um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma
algébrica dos Momentos de todas as forças componentes em
relação ao mesmo ponto O”.
Σ=
= =
n
i
R S Fi
M M M
1
,0 ,0 ,0
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15
2.4.3 Momento de um binário
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e
sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em
qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um
dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam,
tendem a fazê-lo girar.
b
-F1
A2
A1 F1
Exemplos
1. Uma força de 450 N é aplicada no ponto A como ilustrado na figura. Determinar:
a) o momento da força em relação a D;
b) a menor força aplicada em D que ocasiona
o mesmo momento em relação a D;
c) o módulo e o sentido da força vertical que,
aplicada em C, produz o mesmo momento em
relação a D;
d) a menor força que, aplicada em C,
ocasiona o mesmo momento em relação a D.
B
30°
A
D
225mm
225mm C
125mm
300mm
450 N
30°
B
197.3mm
225mm
225mm C
52.6°
D
125mm
300mm
37.4°
325
30°
22.6° A
450 N
Solução
a) braço de alavanca 197,3 mm
Momento M=F×b
M=450×197,3= 88785 N.mm ou
M= 88,8 N.m
B
30°
A
225mm
375 mm
225mm C
53.1°
36.9°
125mm
D
300mm
450 N
b) Para se obter a menor força aplicada
em B que ocasiona o mesmo momento
em relação a D, deve-se utilizar o
maior braço de alavanca, ou seja:
b = 2252 + 3002 = 375mm
b
F = M 236,8
0,375
F = 88,8 = N
c)
b
F = M 394,7
0,225
F = 88,8 = N
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16
d) A menor força que, aplicada em C,
ocasiona o mesmo momento em relação a D é
aquela cujo braço de alavanca é o maior
possível, ou seja:
b = 2252 + 2252 = 318,2mm
b
F = M 279
0,3182
F = 88,8 = N
30°
318,2 mm
225mm
225mm C
D
125mm
300mm
B
A
450 N
2. A figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois rebites de mesmo
diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais atuantes nos rebites.
Como os rebites são iguais, as cargas e as reações verticais em cada rebite também
são iguais: RAV= RBV= 3000÷2= 1500 N.
O rebite A está sendo “puxado” para a direita, portanto, possuirá uma reação
horizontal para a esquerda;
O rebite B está sendo
“empurrado” para a esquerda,
portanto, possuirá uma reação
horizontal para a direita.
Determinação dos esforços
horizontais:
Σ A = 0 M
RBH×200=3000×600 = 9000 N
RAH= RBH=9000 N
B
RBV
RAH A
RAV
RBH
200mm
600mm
3000 N
3. Determinar o Momento em A devido ao
binário de forças ilustrado na figura
MA= F×b
MA= 500×0,12 = 60 N.m
300mm
120mm
F1=500 N
F2=500 N
A
30°
B
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17
4. Substituir o binário da figura por uma
força F vertical aplicada no ponto B.
F1=F2= 500 N
MA= F×b
b
F = M 400
0,15
F = 60 = N
300mm
150mm
MA =60N.m
120mm
A
30°
F=400 N
B
5. Substituir o binário e a força F ilustrados
na figura por uma única força F=400 N,
aplicada no ponto C da alavanca.
Determinar a distância do eixo ao ponto de
aplicação desta força.
MA= (400×0,15) + (200×0,12) = 84 N.m
F
d = M 0,21
400
d = 84 = m = 210 mm
420
cos 60º
AC = 210 = mm
300mm
120mm
MA
200 N
200 N
d=210mm
150mm
A
30°
F=400 N
AC
B
C
5. Determinar a intensidade da força F para que
atue no parafuso o torque (momento) de 40 N.m.
217
cos 23º
a = 200 = mm = 0,217 m
MA= F×b
b
F = M 184,1
0,217
F = 40 = N
6. Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de φ 20 mm a uma luva, como mostra a
figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo no tubo, quando a força
aplicada no aperto for 40 N.
Σ A = 0 M
40 × 180 = F × 30
240
30
40 180 =
×
F = N
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18
2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos
Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam
sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças
externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo.
ΣF = 0 0 0ΣM =
As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática.
Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas,
encontram-se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido
no espaço:
x
0
y
z
Σ = 0 x F Σ = 0 y F Σ = 0 z F
Σ = 0 x M Σ = 0 y M Σ = 0 z M
Equilíbrio ou em duas dimensões
As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente
no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura,
tem-se:
x
0
y
= 0 z F = = 0 x y M M 0 M M z=
para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no
espaço reduzem-se a:
Σ = 0 x F Σ = 0 y F Σ = 0 A M
onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser
resolvidas para um máximo de três incógnitas.
O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano.
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19
2.5 Apoios
Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as
forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo
rígido está apoiado.
Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e
recebem a seguinte classificação:
Apoio móvel
ou
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao
plano do apoio;
• Permite movimento na direção paralela ao plano do
apoio;
• Permite rotação.
Apoio fixo
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do
apoio;
• Permite rotação.
Engastamento
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do
apoio;
• Impede rotação.
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20
2.6 Tipos de Estruturas
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada.
Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:
Σ = 0 x F Σ = 0 Fy Σ = 0 A M
2.6.1 Estruturas hipostáticas
Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é
inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura
hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta
estrutura não possui restrição a movimentos
horizontais.
L
P
A RB
B
R
A
2.6.2 Estruturas isostáticas
Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é
igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
No exemplo da estrutura da figura, as
incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura está
fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente
pelas equações fundamentais da Estática.
RA
A
HA
L
P
RB
B
2.6.3 Estruturas hiperestáticas
Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é
superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
Um tipo de estrutura hiperestática es’ta
ilustrado na figura ao lado. As incógnitas são quatro:
RA, RB, HA e MA. As equações fundamentais da
Estática não são suficientes para resolver as equações
de equilíbrio. São necessárias outras condições
relativas ao comportamento da estrutura, como, p.
ex., a sua deformabilidade para determinar todas as
incógnitas. RA RB
HA
A
MA
L
P
B
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21
3 TRELIÇAS
3.1 Definição
Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O
ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados
unicamente nos nós.
Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um
mesmo plano.
Para se calcular uma treliça deve-se:
a) determinar as reações de apoio;
b) determinar as forças nas barras.
A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é:
2n = b + v
onde:
b= número de barras
n= número de nós
v= número de reações de apoio
Adota-se como convenção de sinais:
barras tracionadas: positivo
setas saindo do nó
barras comprimidas: negativo
setas entrando no nó
Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e
analíticos.
Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós,
abaixo exemplificado.
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22
3.2 Método do equilíbrio dos nós
Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio.
No caso da treliça da figura, no
nó A tem-se um apoio móvel e no nó
B, um apoio fixo.
Como os apoios móveis
restringem somente deslocamentos os
perpendiculares ao plano do apoio,
tem-se uma reação vertical RA.
Como os apoios fixos
restringem deslocamentos paralelos e
perpendiculares ao plano do apoio,
tem-se uma reação vertical RB e uma
reação horizontal HE.
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
Verificar se a treliça é uma estrutura isostática
barras b = 9
nós n = 6
reações v = 3
2n = b + v Conclusão:
2 × 6 = 9 + 3 a treliça é uma estrutura isostática
Cálculo do ângulo de inclinação das barras 45º
2
= = 2 =
cateto adjacente
α arctg cateto oposto
a) Cálculo das reações de apoio
Equação de equilíbrio das forças na horizontal:
Σ = 0 H F conclusão: HE = 0
Equação de equilíbrio das forças na vertical:
Σ = 0 V F + − 50 −100 − 50 = 0 A E R R + = 200 A E R R kN (1)
Equação de equilíbrio de momentos:
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer
ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se
Σ = 0 A M 4 × − 50 × 4 −100 × 2 = 0 E R
4
= 400 E R = 100 E R kN
Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:
+100 = 200 A R kN logo = 100 A R kN
b) Cálculo das forças nas barras
Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças
devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas
barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor
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23
determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta
deve ser mudado.
Nó A
A
RA
N2
N1
Σ = 0 H F → N2 = 0
Σ = 0 V F
100 + N1 = 0 → N1 = −100 kN
Nó B
B
100
45°
N4
50
N3
Σ = 0 FH
N3 + N4 cos 45º = 0 → N3 = −50 kN
Σ = 0 FV
100 − 50 − N4sen45º = 0→ N4 = 70,7 kN
Nó C
50 N5
100
N6
C
Σ = 0 H F
50 + N5 = 0 → N5 = −50 kN
Σ = 0 V F
100 + N6 = 0 → N6 = −100 kN
Nó D
45°
50
50
N7 N8
D
Σ = 0 H F
50 − N7 cos 45º = 0 → N7 = 70,7 kN
Σ = 0 V F
50 + N8 + 70,7sen45º = 0→N8 = −100 kN
Nó E
100
100
E
N9
Σ = 0 H F → N9 = 0
Nó F Verificação
45° 45°
100
70,7 70,7
0,0 0,0
F
Σ = 0 H F
− 70,7cos45º+70,7cos45º = 0 → 0 = 0 ok
Σ = 0 V F
−100 + 70,7sen45º+70,7sen45º = 0→0 = 0 ok
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24
Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças
que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há
necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.
Resultados
NAB= -100 kN compressão
NAF= 0
NBC= -50 kN compressão
NBF= +70,7 kN tração
NCF= -100 kN compressão
NCD= -50 kN compressão
NDF= +70,7 kN tração
NDE= -100 kN compressão
NFE= 0 kN
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura.
1.0 m
C
2.0 m
40 kN
HA A
1.0 m
E
2.0 m
α
D
20 kN
θ
RB
HB B
Cálculo dos ângulos de inclinação das barras
63,43º
1
α = arctg = 2 = 26,56º
2
θ = arctg = 1 =
a) Cálculo das reações de apoio
Σ = 0 H F + = 40 A B H H kN
Σ = 0 V F + 20 = 0 B R = −20 B R kN
Σ = 0 B M + × 2 − 40 × 2 − 40 ×1 = 0 A H = 60 A H kN = −20 B H kN
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25
b) Cálculo das forças nas barras
Nó B
N2
N1
63.4°
20 kN
20 kN
B
Σ = 0 FH
− 2 + N2senα = 0 → N2 = 22,4 kN
Σ = 0 V F
20 + N1− N2 cosα = 0→ N1 = 10 kN
Nó A
60
N3
100
26.6°
A
N4
10
Σ = 0 H F
6 + N4 + N3senθ = 0
6 + N4 − 22,4senθ = 0→ N4 = 40 kN
Σ = 0 V F
10 + N3cosθ = 0 → N3 = −22,4 kN
Nó E
40 N6
E
N5
Σ = 0 H F → N6 = 40 kN
Σ = 0 V F → N5 = 0 kN
Nó D
26.6°
N7
40
D
20
Σ = 0 V F
− 20 + N7senθ = 0 → N7 = 44,7 kN
Σ = 0 H F
− 40 + 44,7cos senθ = 0→ 0 = 0 ok
Nó C
22,4 0,0 44,7
22,4
26.6° C 40
Σ = 0 H F
22,4cosθ − 22,4cosθ − 40 + 44,7cosθ = 0=0 kN
Σ = 0 V F
22,4senθ − 22,4senθ − 44,7senθ = 0
→ 10+10-20 =0 ok
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26
Resultados
NAB= +10 kN tração
NAC= -22,4 kN compressão
NBC= +40 kN tração
NBC= +22,4 kN tração
NCE= 0
NCD= +44,7 kN tração
NED= +40 kN tração
1.0 m
C
2.0 m
40 kN
HA A
1.0 m
E
2.0 m
α
D
20 kN
θ
RB
HB B
Exercícios
1. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está
tracionada ou comprimida.
1.
FAB = 8 kN C
FAC = 10 kN T
FBC = 8,545 kN T
C
1.2m
A
9000 N
2.4m
0.9m
B
A
400mm
B C
500mm
375mm
1200 N
2.
FAB = 3 900 N T
FAC = 4 500 N C
FBC = 3600 N C
3.
FAB = FDE = FBG = FDI = 0;
FAF = FCH = FEJ = 400 N C;
FBC = FCD = 800 N C;
FBF = FDJ = 849 N C;
FBH = FDH = 283 N T;
FFH = FGH = FHI = FIJ = 600 N T
a a a
a
B C D E
G H I J
400 N 400 N 400 N 400 N
F
a
A
400 N
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27
2,7m
9000 N
F
3,6m
E
2,7m
C D
9000 N A B
4.
FAB = 9 kN;
FAC = 0;
FBC = 11,25 kN C
FBD = 6,75 kN T;
FCD = 18 kN T
FCE = 6,75 kN C;
FDE = 22,50 kN C
FDF = 20,25 kN T
5.
FAB = FDE = 8 kN C
FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T
FBC = FCD = FBG = FDE = 4 kN C
FBF = FDH = FCG = 4 kN T
a a a a
30° 30° 30° 30°
G
C
F H
4 kN 4 kN
A E
B D
D E F
3,6 m 3,6 m
100 kN
A
1,5 m
1,5 m
1,5 m
B
C 6.
FAB = 130 kN T
FAD = 100 kN T
FAE = 130 kN C
FBC = 173,5 kN T
FBE = 50 kN T
FBF = 52,05 kN C
FCF = 33,35 kN T
FDE = 0
FEF= 1120 kN C
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28
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES
4.1 Introdução
Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar,
considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção
constante em todo o comprimento).
Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P
(forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na
barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o
estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a
seu eixo. Removendo-se por exemplo a parte direita do corpo, os esforços internos na
seção considerada (m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes
esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal.
m
m
σ
L
P
δ
P
P
Figura 4.1.
Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à
resultante, também axial, de intensidade P.
Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a
seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela
letra grega σ (sigma).
Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal
é obtida dividindo-se o valor da força P pela área da seção transversal, ou seja,
A
σ = P (1)
A tensão tem a mesma unidade de pressão, que, no Sistema Internacional de
Unidades é o Pascal (Pa) corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2,
ou seja, Pa = N/m2. Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com
freqüência seus múltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa×106), GPa = kN/mm2 = (Pa×109), etc. Em
outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode-se ser expressa em quilograma força por
centímetro quadrado (kgf/cm2), libra por polegada quadrada (lb/in2 ou psi), etc.
Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura 4.1, a tensão
resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a
barra, tem-se tensão de compressão.
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29
A condição necessária para validar a Equação (1) é que a tensão σ seja uniforme
em toda a seção transversal da barra.
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela
letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado
deformação específica, representado pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte
equação:
L
δ
ε = (2)
onde:
ε = deformação específica
δ = alongamento ou encurtamento
L = comprimento total da barra.
Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no
meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o
valor da deformação específica por 102 ou mesmo até (‰) multiplicando-se por 103.
4.2 Diagrama tensão-deformação
As relações entre tensões e deformações para um determinado material são
encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ,
correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do
corpo-de-prova.
Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as
deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a
deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material
em estudo. Na Figura 4.2 ilustra-se um diagrama tensão-deformação típico do aço.
região
elástica região plástica
C
0 ε
L
p
P
r
σ
σp A
e
σ σ
escoamento
B
ε
δ
P
r ε
D E
Tensão
A
σ = P
Deformação
L
δ
ε =
σr = tensão de ruptura
σe = tensão de escoamento
σp = tensão limite de
proporcionalidade
Figura 4.2. Diagrama tensão-deformação do aço
Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às
deformações; o material obedece a Lei de Hooke e o diagrama é linear. 0 ponto A é
chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a
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30
proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta 0A, até que em
B começa o chamado escoamento.
O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da deformação com
pequeno aumento da força de tração. No ponto B inicia-se a região plástica.
O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência
adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D,
denominado limite máximo de resistência. Além deste ponto, maiores deformações são
acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova
no ponto E do diagrama.
A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande
deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais
estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer
grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações,
antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre,
bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os
materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes
de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica,
gesso, entre outros.
4.3 Tensão admissível
Para certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, levando em
conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis
desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se
um coeficiente de segurança ( γ
f), majorando-se a carga calculada. Outra forma de
aplicação do coeficiente de segurança é utilizar uma tensão admissível (σ ou adm σ ),
reduzindo a tensão calculada (σcalc), dividindo-a por um coeficiente de segurança. A tensão
admissível é normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na
região de deformação elástica do material. Assim,
f
calc
adm γ
σ
σ =σ = (3)
4.4 Lei de Hooke
Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais,
quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto
é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o
carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela
qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta
completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o
retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação
que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente.
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31
A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE
em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como:
σ = Eε (4)
onde
σ = tensão normal
E = módulo de elasticidade do material
ε = deformação específica
O Módulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do
diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material.
A lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. Por este motivo,
quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição
de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois
somá-los.
Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais,
o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais.
Tabela 4.1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais
Material Peso específico
(kN/m3)
Módulo de Elasticidade
(GPa)
Aço 78,5 200 a 210
Alumínio 26,9 70 a 80
Bronze 83,2 98
Cobre 88,8 120
Ferro fundido 77,7 100
Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12
Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a
deformação específica é ε = δ / L . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE,
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra:
EA
δ = PL (5)
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como
rigidez axial da barra.
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32
4.4.1 Coeficiente de Poisson
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu
comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 3 ilustra
essas deformações.
P
P
P
P
Figura 4.3. Deformações longitudinal e lateral nas barras
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como:
deformação longitudinal
υ = deformação lateral (6)
Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D.
Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em
todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com
metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35.
Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a
direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o
material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material
anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas
fibras a madeira é mais resistente.
4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke
Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a
exemplos simples de solicitação axial.
Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal ( ε
t), tem-se,
respectivamente:
L E
σ
ε = e
t L E
υσ
ε =νε = (7)
No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões
normais σ
x, σ
y e σ
z, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às
deformações ε
x, ε
y e ε
z, a Lei de HOOKE se escreve:
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33
[ ( )] x E x y z
ε = 1 σ −υ σ +σ .
[ ( )] y E y z x
ε = 1 σ −υ σ +σ (8)
[ ( )] z E z x y
ε = 1 σ −υ σ +σ .
A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que
possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos.
Exemplos
1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de
comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de
Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN.
L= 5 m
P P=30 kN
4
πφ 2
A = 19,6
4
52
=
×
=
π A cm2
A
σ = P 1,53
19,6
σ = 30 = kN/cm2 ou 15,3 MPa
EA
δ = PL 0,0382
20.000 19,6
30 500 =
×
×
δ = cm
L
δ
ε = 0,0000764
500
ε = 0,0382 = ou × 1000 = 0,0764 (‰)
2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com
área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho
CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistema de forças
indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o
alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2.
300 cm
30kN
A
150kN
200 cm 200 cm
B C
50kN
D
170kN
σy
x σ
σz
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34
Trecho A-B
300 cm
150kN
A
170kN
50kN
30kN
B
R=150kN
A
σ = P 15
10
σ = 150 = kN/cm2
EA
δ = PL 0,214
21.000 10
150 300 =
×
×
δ = cm
L
δ
ε = 1000 0,713
300
ε = 0,214 × = (‰)
Trecho B-C
R=120kN 30kN
150kN
200 cm
B C
50kN
170kN
R=120kN
A
σ = P 8
15
σ = 120 = kN/cm2
EA
δ = PL 0,076
21.000 15
120 200 =
×
×
δ = cm
L
δ
ε = 1000 0,38
200
ε = 0,076 × = (‰)
Trecho C-D
R=170kN 30kN
150kN
200 cm
50kN
C D 170kN
A
σ = P 9,44
18
σ = 170 = kN/cm2
EA
δ = PL 0,0899
21.000 18
170 200 =
×
×
δ = cm
L
δ
ε = 1000 0,45
200
ε = 0,0899 × = (‰)
Alongamento total
δ = 0,214 + 0,076 + 0,0899 = 0,38 cm
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35
4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas
Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser
calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente
determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática
não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para
essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a
reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta.
Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura
4.4.
Ra
A A
Ra
(c)
A
B
Rb
B
C
P
(a) (b)
B
L
b
a
C
P
Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada
A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra
estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra,
porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A
única equação fornecida pelo equilíbrio estático é
R R P a b + = (9)
a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente
para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda
equação, que considere as deformações da barra.
Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força
sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da
carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento
(para baixo) do ponto A, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é
dado por:
EA
Pb
P δ =
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36
Em seguida, analisa-se o efeito da reação Ra deslocando do ponto A, ilustrado na
Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação Ra com a extremidade A da
barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por:
EA
R L a
R δ =
Ora, como a extremidade A da barra é fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto,
resultante da ação simultânea das forças P e Ra, é nulo. Logo,
− = 0 R P δ δ → P R δ =δ ,
ou seja,
EA
R L
EA
Pb = a .
Logo,
L
R Pb a = . Substituindo o Ra na equação (9), tem-se: R P
L
Pa
b + =
L
R P Pa b = −
L
R PL Pb b
−
=
L
R P L b b
( − )
=
L
R Pa b =
Exemplos
1. Uma barra constituída de dois trechos é
rigidamente presa nas extremidades. Determinar as
reações R1 e R2 quando se aplica uma força P.
Dados: E=21.000 kN/cm2; AAB=5cm2; ABC=7,5cm2;
P= 60 kN
Solução
Equação de equilíbrio
R + R = P 1 2 (1)
Equação de compatibilidade das deformações:
AB BC δ =δ (2)
Nota: As cargas P/2 provocarão um alongamento no trecho AB, e um encurtamento no
trecho BC, de valores exatamente iguais.
lembrando que
EA
δ = PL , tem-se
7,5
1,5
5
2 1 2
×
×
=
×
×
E
R
E
R
1 2 0,4R = 0,2R
0,4
0,2 2
1
R = R 1 2 R = 0,5R substituindo em (1)
60 1 2 R + R = → 0,5 60 2 2 R + R = → 1,5 60 2 R = → 40 2 R = kN
mas, 40 60 1 R + = logo 20 1 R = kN.
2 cm
1,5 cm
P/2 P/2
A
B
C
R2
R1
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37
2. É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm
de diâmetro externo, com dimensões indicadas na Figura. Aplicando-se uma força de
P=400 kN, qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro
de cobre? Dados: Eaço=21.000 kN/cm2; Ecobre=12.000 kN/cm2
19,63
4
52
=
×
=
π
aço A cm2 cobre cobre total aço A = A − A ,
30,63
4
5
4
82 2
=
×
−
×
=
π π
cobre A cm2
+ = 400 cobre aço P P kN (1)
= + 0,25 aço cobre δ δ (2)
lembrando que
EA
δ = PL , tem-se
0,25
12.000 30,63
300
21.000 19,63
300,25
+
×
×
=
×
× Paço Pcobre
0,000728 = 0,000817 + 0,25 aço cobre P P
300 cm
5 cm
8 cm
cilindro
de cobre
P=400 kN
cilindro
de aço
0,25 cm
posição final
placa rígida
0,000728
0,000817 + 0,25
= cobre
aço
P P substituindo em (1), tem-se,
400
0,000728
0,000817 0,25 =
+
+ cobre
cobre
P P kN 400
0,000728
0,25
0,000728
+ 0,000817 cobre + =
cobre
P P kN
1,1223 + + 343,4066 = 400 cobre cobre P P = 26,66 cobre P kN substituindo em (1), tem-se:
= 400 − 26,66 = 373,34 aço P kN
Exercícios
1. Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10m de comprimento, comprimida por
uma força de 500 kN. Sabendo-se que a tensão não deve exceder a 140 kN/cm2 e o
encurtamento não deve exceder a 3mm, pede-se determinar o diâmetro da barra.
E=21.000 kN/cm2. Resposta: φ=10cm
2. Uma barra prismática está submetida à tração axial. A área da seção transversal é 2cm2 e
o seu comprimento é 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento δ=0,714285cm
quando é submetida à força de tração 60kN, pede-se determinar o módulo de elasticidade
do material. Resposta: E=21.000 kN/cm2.
3. Uma barra cilíndrica de 38mm de diâmetro e 20cm de comprimento sofre a ação de uma
força de compressão de 200kN. Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é
E=9.000 kN/cm2 e o coeficiente de Poisson, υ=0,3, determinar o aumento de diâmetro da
barra. Resposta: δt=0,00223cm.
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38
4. A barra rígida AB é articulada em A,
suspensa em B por um fio e apóia-se em C
em um suporte de ferro. São dados:
comprimento do fio: 1,7m; área da seção
transversal do fio: 5cm2; módulo de
elasticidade do fio E=21.000 kN/cm2;
comprimento do suporte: 2m; área do
suporte: 15cm2; módulo de elasticidade do
suporte E=10.000 kN/cm2. Determinar as
forças no fio, no suporte e na articulação.
Respostas:
Força no fio: 50kN
Força no suporte: 25kN
Força na articulação: 25kN
B
2.0 m 1.70m
2.0 m 1.0 m 2.0 m
P=100 kN
A C B
Pf
PA PC
A C
P=100 kN
4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas
Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da
temperatura em todo seu comprimento não acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é
capaz de se expandir ou se contrair livremente. Por outro lado, a variação de temperatura
em estruturas fixas, estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos,
denominadas tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre
uma barra livre em uma das extremidades, com outra barra engastada nas duas
extremidades, como mostrado na Figura 4.5.
R
(c)
R
Δ
B
A
(a)
R
B
L
A
(b)
B
T
A
ΔT
Figura 4.5. Barra fixa nas extremidades, submetida a aumento de temperatura
Na barra da Figura 4.5b, a variação uniforme de temperatura sobre toda a barra
causará o alongamento:
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39
δ =αLΔT (10)
onde: α = coeficiente de dilatação térmica
L = comprimento
ΔT = variação de temperatura (ºC)
Como este alongamento pode ocorrer livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra.
Na Tabela 4.2 estão indicados coeficientes de dilatação térmica de alguns materiais.
Tabela 4.2 Valores Típicos do coeficiente de dilatação térmica
Material Coeficiente de dilatação térmica α (10-6 ºC-1)
Aço 11,7
Alumínio 21,4 a 23,9
Magnésio 26,1
Cobre 16,7
Concreto 7,2 a 12,6
No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5,
quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se, surgindo, como
conseqüência, uma força de compressão que pode ser calculada pelo método descrito no
item precedente. Para a barra engastada da Figura 4.5a, vê-se que, se a extremidade A for
liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo de temperatura, será o mesmo
deslocamento para baixo, decorrente da ação da força R, ou seja, RL/EA. Igualando esses
dois deslocamentos vêm:
R = EAαΔT (11)
Depois de se obter R, pode-se calcular a tensão e a deformação específica da barra
pelas expressões:
E T
A
σ = R = αΔ e T
E
= =αΔ
σ
ε
Deste exemplo, conclui-se que a variação de temperatura produz tensões em
sistemas estaticamente indeterminados, ainda que não se tenha a ação de forças externas.
Exemplo
Uma barra prismática, rigidamente presa
nas extremidades é submetida a um
aumento de temperatura de 20ºC, ao
mesmo tempo em que recebe uma carga
P=30 kN. Determinar as reações de apoio.
Dados: A= 1,5 cm2; E=20.000 kN/cm2;
α=11,7×10-6 ºC-1; ΔT= +20ºC
Solução:
a) determinação das reações R´A e R´B, devido ao aumento de temperatura R = EAαΔT
A C B
P=30 kN
100 cm 250 cm
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40
A B
R'A =7,02 R'B =7,02 kN
R = 20.000×1,5×11,7×10−6 ×20 = 7,02 kN → R = R′A = RB′
b) ao se aplicar a carga P= 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrerá um alongamento
exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto, AC BC δ =δ . Assim,
EA
R
EA
R A 100 B′′ × 250
=
′′ ×
→ R′A′ = 2,5RB′′
fazendo o equilíbrio de forças, tem-se:
RB RA P ′′ + ′′ = mas R′A′ = 2,5RB′′ , logo,
2,5 ′′ + ′′ = 30 B B R R → 30 5 , 3 = ′′BR
57 , 8 = ′′BR kN →Portanto, ′′ = 21,43 A R kN
R''B =21,43 R''B =8,57 kN
A P=30 kN B
Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elástico, vale a superposição de
efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P:
A A A R = −R′ + R′′ = −7,02 + 21,43 =14,41 A R kN
B B B R = R′ + R′′ = 7,02 + 8,57 =15,59 B R kN
Exercício
1. A um tubo de aço se aplica uma carga axial de 200 kN
por meio de uma placa rígida. A área da seção transversal
do cilindro de aço é 20cm2. Determinar o acréscimo de
temperatura ΔT para o qual a carga externa seja
equilibrada pelos esforços que aparecem nos cilindros de
aço e cobre. Dados:
Eaço=21.000 kN/cm2; αaço=11,7×10-6 ºC-1
Resposta: ΔT = 40,7ºC.
50cm
tubo de
aço
P=200 kN
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41
4.7 Tensão de cisalhamento
Denomina-se força cortante (V), a componente de uma força, contida no plano da
seção transversal considerada, como ilustrado na Figura 4.6. A força cortante é uma força
que atua no próprio plano da seção transversal. A outra componente é a força normal.
resultante
força normal
barra engastada
L
P
força
tangencialV R
Figura 4.6
A força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção, ao aparecimento de
uma tensão tangencial, denominada tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ.
Admitindo-se distribuição uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área
A, tem-se, em cada ponto da seção:
A
τ = V (12)
A tensão de cisalhamento, como a tensão normal, tem também a mesma unidade de
pressão a qual, no Sistema Internacional é o pascal (Pa).
Exemplo
Considere-se o parafuso de 12,5 mm de diâmetro, da junta da Figura abaixo. A força P é
igual a 15 kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o valor
dessas tensões, em qualquer uma das seções transversais m—n ou p—q?
P m n
A
p q
B
P
C mp
n
m
q p
V
B
V
n
q
Solução
Supõe-se que a força P solicite igualmente as duas seções transversais. Nessas condições, a
força que atua em cada plano é: 15/2=7,50 kN, sobre a seção de área π×1,252/4 = 1,23 cm2.
Portanto,
A
τ = V 6,1
1,23
τ = 7,5 = kN/cm2
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42
Exercícios
1. Emprega-se um rebite para ligar duas barras
de aço, como se indica na figura, Se o diâmetro
do rebite é 19mm e a carga P = 30 kN, qual a
tensão de cisalhamento no rebite?
Resposta:τ= 10,6 kN/cm2.
P
φ19mm
P=30 kN
2. A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos
fixos quando a temperatura é de +25ºC. Determinar
as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para
a temperatura de –50ºC.
Dados: E=200GPa e α=12×10-6/ºC.
Respostas: σAC = 240 MPa; σCB = 120 MPa
3. Determine a deformação da barra de aço
sob a ação das cargas indicadas.
Dado: E=210 GPa
Resposta: δ=2,75×10-3m = 2,75mm
4. A barra (1) da figura é de aço, possui A1=400mm2 de área de seção transversal e seu
comprimento é L1= 800mm. Determinar para a barra (1):
a) carga axial atuante (F1)
b) tensão normal atuante (σ1)
c) o alongamento (ΔL1)
d) a deformação longitudinal (ε1)
e) a deformação transversal (εt1)
Dados: Eaço=210 GPa; υ=0,3
Respostas:
a) F1=6,125 kN; b) σ1=15,3MPa
c) ΔL1=58×10-6m; d) ε1=0,0000725;
e) εt1=-0,000022
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43
5. A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes
AB e CD. A haste AB é de alumínio (Eal=
...