Formulas em geral

Convergência de séries

1) Se [pic 1]

2) Se [pic 2]

3) Se [pic 3]

4) Se  [pic 4]

5) [pic 5]

Tipos de séries especiais

1) Se [pic 6]

2)  é divergente[pic 7]

3) se  convergente[pic 8][pic 9]

4) [pic 10]

Topologia na Reta

Ponto interior	note que [pic 11][pic 12]
Ponto aderente	é possível que [pic 13][pic 14]
Ponto de acumulação  [pic 15]	[pic 16] é possível que   - além disso conjuntos discretos não contém ponto acum.      [pic 17]
Conjunto aberto	[pic 18]
Conjunto fechado	Se   [pic 19]
Fecho [pic 20]	[pic 21] [pic 22] Conjunto de todos os pontos aderentes

1) Ponto interior: Um ponto x é dito ponto interior de um conjunto se, e somente, se [pic 23]

2) Vizinhança: a vizinhança de um elemento x de X são todos os elementos y que estão próximo de x a um "raio" [pic 24], isto é, [pic 25]deve ser menor estrito a [pic 26]. [pic 27]

Exemplo:

Note que para ser vizinhança, o valor y não precisa necessariamente pertencer ao Conjunto X. Entretanto, para dizer que um número é ponto interior, ele precisa conter uma  que está inteiramente contida no Conjunto X. Assim, em relação ao Conjunto X (abaixo), note que para o valor 7, . Entretanto, para os demais pontos 5 e 10 não é possível encontrar  que esteja totalmente contida. Apenas uma parte da vizinhança está contida, e nesse caso não é suficiente para definição de ponto interior.[pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31]

No caso de conjuntos discretos, como o conjunto C abaixo, vale a mesma ideia de vizinhança. Como a Vizinhança é definida em termos de , ou seja, a vizinhança por si só não é formada por elementos do conjunto. Ocorre para saber se determinado ponto é ponto interior do conjunto, daí sim esse ponto precisa conter uma vizinhança que está totalmente contida no conjunto de interesse. O que significa dizer que o conjunto  não possui pontos interiores, porque não é possível encontrar um épsilon qualquer para fazer com que  esteja totalmente contido em , de igual maneira isso vale para  .[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37]

3) Conjunto Aberto: dizemos que um conjunto [pic 38]é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja: [pic 39] 

[pic 40]é aberto.

Dizemos que um conjunto [pic 41] não é conjunto aberto se [pic 42]

Exemplos:

X=(a,b) é aberto, veja que a e b não pertencem ao conjunto X e que para todos os demais pontos x pertencentes a X é possível encontrar um épsilon tal que a vizinhança desses x estejam totalmente contidos em X.

X=[a,b] não é aberto, porque é possível mostrar a e b que pertencem a X, e que para todos os épsilon que formam a vizinhança desses números não está totalmente contida em X.

Propriedades

• A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
• A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

4) Ponto aderente: de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X ⊂ [pic 43]

• Todo ponto a de um conjunto [pic 44]é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante [pic 45]

• Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto [pic 46]possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X. Por exemplo, (2,3], apesar de 2 não pertencer ao conjunto, 2 é ponto aderente pois posso construir uma sequencia an=2+1/n cujo limite é 2.

a é ponto aderente de X => Para todo [pic 47] existe um ponto [pic 48]tal que [pic 49][pic 50]

[pic 51][pic 52]

Significa que basta conter um número x pertencente X dentro do intervalo de raio épisolon, em torno do ponto de interesse, para saber se esse é um ponto de aderencia do conjunto. Por exemplo, o conjunto formado pelos números discretos C={2,3,4,5,6} é todo ele formado por pontos aderentes, pois posso construir uma sequência constante e qualquer intervalo que eu construir em torno desses números, posso dizer que encontrei um número x (que seria o próprio número) talque para todos os valores de épisolon maior que zero a-E