Funções Exponenciais

Capıtulo 3

Funcoes Exponenciais e Logarıtmicas

Problema 1. Uma piscina tem capacidade para 100m de agua. Quando a piscina esta completamente cheia, e colocado 1kg de cloro na piscina. Agua pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazao constante, sendo o excesso de agua eliminado atraves de um ladrao. Depois de 1 hora, um teste revela que ainda restam 900 g de cloro na piscina.

a) Que quantidade de cloro restara na piscina 10 horas apos sua colocacao? b) E apos meia hora da aplicacao? c) E apos t horas?

Uma resposta muitas vezes dada para a primeira pergunta e que, apos 10 horas, nao ha mais cloro na piscina. Esta resposta resulta da aplicacao do modelo mais simples de variacao de uma grandeza, expresso por uma funcao afim. Segundo este modelo, a variacao sofrida em cada intervalo de 1 hora e sempre a mesma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100g de cloro, o mesmo deveria ocorrer em cada uma das 10 horas seguintes, fazendo com que todo o cloro seja eliminado nestas 10 horas. O grafico da Figura 17 ilustra este raciocınio.

A solucao acima, entretanto, nao esta correta. Nao e razoavel admitir-se que a eliminacao de cloro se de a uma taxa constante. De fato, e muito mais razoavel que esta taxa dependa da quantidade de cloro presente na piscina: quanto maior a quantidade de

4 Temas e Problemas

Cloro (g)

Tempo (h) cloro, mais cloro e eliminado por unidade de tempo. Na verdade, parece intuitivo que a quantidade eliminada por unidade de tempo seja proporcional a quantidade existente de cloro. Para verificarmos esta conjetura, utilizaremos um recurso frequentemente utilizado para analisar problemas envolvendo grandezas que variam continuamente: vamos discretizar o problema. Ao inves de considerar que a agua ingressa na piscina e e dela eliminada de modo contınuo, vamos dividir o tempo em pequenos intervalos de comprimento ∆t e imaginar que, em cada um destes intervalos, o processo ocorra da forma descrita a seguir. Primeiro, ingressa na piscina, cujo volume representaremos por V, uma quantidade de agua pura igual a v∆t, onde v e a vazao (expressa, por exemplo, em m por hora); esta agua e adicionada a mistura existente de cloro e agua. A seguir, um volume igual a v∆t e retirado da mistura, restaurando o volume inicial (veja a Figura 18).

Vejamos o que ocorre com a quantidade c(t) de cloro em cada um destes intervalos. No inıcio do processo, esta massa esta uniformemente distribuıda em um volume V de lıquido. Apos o ingresso de agua pura, a quantidade de cloro nao se altera, mas passa a estar distribuıda em um volume igual a V + v∆t. Deste volume, retira-se v∆t , retendo-se um volume igual a V. Como o

Func oes Exponenciais e Logarıtmicas 45

Piscina no instante t (volume V)

Água pura é acrescentada

(volume V+v t)

Água pura se mistura à água da piscina

Volume v t é retirado (volume V) cloro esta distribuıdo uniformemente, a quantidade de cloro que permanece na piscina e proporcional ao volume retido. Isto e, temos, o seguinte quadro:

Volume de lıquido Quantidade de cloro

O mais importante a observar e que a fracao e constante para cada intervalo de comprimento ∆t. Assim, em cada um destes intervalos, a quantidade de cloro e multiplicada por um valor constante. Note que o mesmo ocorrera em um intervalo maior, formado pela justaposicao de n intervalos de comprimento ∆t: a quantidade de cloro em um intervalo de tamanho n∆t e mul- tiplicada por ( ) . A variacao da quantidade de cloro, por sua vez, e obtida da equacao acima subtraindo-se a quantidade inicial c(t) em cada