Funções de cálculo da raiz

Cálculo de Raízes de Funções 3-1

Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue

Cálculo de Raízes de Funções

Introdução

O cálculo de raízes de funções encontra uso na obtenção da solução de uma ampla gama

de problemas de engenharia. Usualmente, a forma analítica de problemas matemáticos y = f(x)

requer o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais f(x) = 0.

Por exemplo, considere a função f(x) = ax2 + bx + c, que é um polinômio de 2o grau com

coeficientes a, b, e c e que possui duas raízes. Essas raízes podem ser determinadas pela

conhecida fórmula de Baskhara:

a

b b ac

x

2

2 4

1

= - + -

e

a

b b ac

x

2

2 4

2

= - - -

Para uma equação particular f(x) = x2 - 5x + 6, temos que a = 1, b = -5 e c = 6, resultando

na solução:

2

2

5 1

(2).(1)

( 5) ( 5) (4).(1).(6)

3

2

5 1

(2).(1)

( 5) ( 5) (4).(1).(6)

2

2

2

1

= - =

- - - - -

=

= + =

- - + - -

=

x

x

Substituindo-se o valor das raízes na expressão de f(x) = x2 - 5x + 6, veremos que tanto

x1, quanto x2 fazem com que esta função se anule, ou seja, que f(x1) = 0 e f(x2) = 0.

As equações polinomiais também conduzem a soluções cujo domínio seja o dos números

complexos. Por exemplo, a equação de 2o grau f(x) = x2 - 2x + 2 apresenta as seguintes raízes:

2 i

2

4 2 1

2

4 4

(2).(1)

( 2) ( 2) (4).(1).(2)

x

2 i

2

4 2 1

2

4 4

(2).(1)

( 2) ( 2) (4).(1).(2)

x

2

2

2

1

= - - = - - = -

- - - - -

=

= + - = + - = +

- - + - -

=

sendo que i = -1 .

Na prática, nem sempre um problema pode ser equacionado na forma de uma função que

possui uma solução analítica como a função de 2o grau. As funções transcendentes, por

exemplo, não possuem fórmula analítica para o cálculo das raízes. Nesses casos, pode-se

calcular as raízes através de dois métodos:

Cálculo de Raízes de Funções 3-2

Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue

· Método gráfico

· Métodos numéricos

Nesta nota de aula, trataremos apenas dos métodos para o cálculo de raízes reais, embora

os métodos numéricos possam calcular raízes complexas também.

Método Gráfico

As funções transcendentes podem ter raízes reais e complexas. Entretanto, diferentemente

das funções polinomiais, não se pode determinar nem se a função possui raiz real e nem a sua

quantidade. O método gráfico é o procedimento inicial adotado para estimar as raízes e como a

determinação da raiz com precisão não pode ser feita com este método, deve-se utilizar um

método numérico para "refinar" a solução, isto é, melhorar a precisão do valor calculado da

raiz.

Vamos mostrar a avaliação da raiz de uma função pelo método gráfico através do exemplo

de uma função transcendente do tipo: f(x) = ex - 3x, cujo gráfico está mostrado na Fig. 3.1.

-1 0 1 2 3

-1

0

1

2

3

4

5

xR2 xR1

f(x) = ex - 3x

x

Fig. 3.1 - Gráfico da função f(x) = ex - 3x.

No

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