Física I

Rotação de eixos.

1. Multiplicando um vetor por um Escalar:

Se multiplicarmos um vetor por um escalar s, obteremos um novo vetor. Seu módulo é o produto do módulo de pelo valor absoluto de s. Sua direção é a direção de e seu sentido é o mesmo de se s for positivo, mas o oposto se s for negativo.

2 2 = +

a a

a) Produto Escalar (Produto Interno)



produz um escalar.

= ab cosΦΦΦΦ ,



lê-se “a escalar b”

2. Multiplicando um vetor por um vetor:

Onde a é o módulo de , b é o módulo de , e Φ é o ângulo entre e .

Um produto interno pode ser considerado como o produto de duas grandezas: (1) o módulo de um dos vetores e (2) a componente escalar do outro ao longo da direção do primeiro vetor.

= (a cós Φ)(b) = (a)(b cós Φ)

= . (propriedade comutativa)

Os vetores podem ser escritos em termos dos vetores unitários:

= axbx + ayby + azbz

Qual é o ângulo Φ entre = 3,0 - 4,0 e = -2,0 + 3,0 ?

Exemplo 1

1o passo: como = ab cosΦΦΦΦ , devemos determinar os módulos dos vetores e

passo: como = (ax + ay + az) . (bx + by + bz), podemos determinar .

= (3,0 - 4,0 ).( -2,0 + 3,0 ) = (3,0).( -2,0) + (3,0)( 3,0) + (- 4,0( -2,0 + (- 4,0( 3,0)

O ângulo entre os vetores unitários no primeiro termo ( e ) é 0o , e nos outros termos é 90o .

= - (6,0)(1) + (9,0)(0) + (8,0)(0) – (12)(0) = - 6,0

Então: -6,0 = (5,0)(3,61).cosΦ
Φ = cós

b) Produto Vetorial (Produto Externo)



produz um vetor

O produto vetorial com , é escrito na forma x e produz um terceiro vetor de módulo:

c = ab sen ΦΦΦΦ, sendo = x e lê-se “a externo b”

onde Φ é o menor dos dois ângulos entre e

Se e são paralelos, x = 0 e é máximo quando são perpendiculares.

| x | é o módulo de x

A direção de é perpendicular ao plano definido por e . (regra da mão direita)

x = - ( x )
não é válida a propriedade comutativa

x = ( x ) = 0 e x = ( x ) = x = (

1. Três vetores são dados por = 3,0 + 3,0 – 2,0, = 2,0 - 4,0 + 2,0 e = 2,0 + 2,0 + 1,0.

Encontre (a) ( x ) .; (b) ( + ) . e (c) ( + ) x .

2. Dois vetores, e , estão no plano xy. Seus módulos são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a 320o e 85o , respectivamente, no sentido anti-horário em