Geometria Basica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Programa de Pós-Graduação em Matemática para Professores

O NÚMERO DE OURO:

Representação da beleza matemática

Cristiano Gonçalves Augusto

Belo Horizonte

2009

Cristiano Gonçalves Augusto

O NÚMERO DE OURO:

Representação da beleza matemática

Monografia apresentada ao Departamento

de Ciências Exatas da Universidade Federal

de Minas Gerais como requisito para

obtenção do Grau de Especialista em

Matemática do Ensino Básico.

Orientador: Paulo Antônio Fonseca Machado

Belo Horizonte

2009

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Programa de Pós-Graduação em Matemática para Professores

Monografia intitulada “O Número de Ouro: representação da beleza matemática”, de

autoria do pós-graduando Cristiano Gonçalves Augusto, aprovada pela banca examinadora

constituída pelos seguintes professores:

Prof. Dr. Paulo Antônio Fonseca Machado – Orientador

Prof. Dr. Alberto Berly Sarmiento Vera

Prof. Me. Jorge Sabatucci

Prof. Dr. Alberto Berly Sarmiento Vera

Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Matemática para Professores: UFMG

Belo Horizonte, 26 de março de 2009.

Av. Antônio Carlos, 6627 – Belo Horizonte, Mg – 31270-901 – Brasil

Dedico este trabalho a minha família,

presença constante na minha caminhada.

Agradecimentos

Agradeço a Deus, pela vida, pela saúde e, em especial, pela inspiração no decorrer deste

trabalho.

Agradeço, carinhosamente, aos meus pais, Conceição Gonçalves Augusta e Ramiro Sérvulo

Augusto, pelo amor incondicional, pela dedicação, pelos ensinamentos e pelo apoio em todos

os momentos de minha vida.

Agradeço ao meu orientador, Paulo Antônio Fonseca Machado, por ter me apoiado e

acreditado que este trabalho era pertinente e possível de se realizar. Obrigado pela paciência,

pelos “puxões de orelha” nas horas de maior desespero, pelas anotações de grande valia.

Tenho certeza de que não poderia ter percorrido este caminho em melhor companhia.

Agradeço, igualmente, a todos os meus amigos, por entenderem meu súbito desaparecimento

e, em algumas vezes, meu stresse.

A matemática, quando a compreendemos

bem, possui não somente a verdade,

mas também suprema beleza – uma beleza

fria e austera, como a da escultura.

Bertrand Russel

Resumo

razão áurea é uma intrigante mistura da relação comparativa de tamanho ou

quantidade e da igualdade descrita matematicamente. Percebemos, no entanto, que

embora presente em vários lugares, a razão áurea é um assunto pouco difundido.

Mostrar sua importância matemática, defini-la e contribuir para sua divulgação é o objetivo

proposto neste trabalho.

Palavras-chave: Razão áurea; seqüência áurea, espiral.

Abstract

The Golden Ratio is na instigating mixture of the comparative relation about size or

qunatity and of equality mathematically described. Despite of ist has ben present in many

places even so it is not a very well spread out subject. The main aim of this work is showing

its mathematical importance; defining it, and contributing for its spreading.

Key – words: Golden Ratio, golden section, spiral.

A

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Divisão de um segmento na razão áurea........................................................11

Figura 2 – Pentagrama.....................................................................................................13

Figura 3 – Prolongamento do segmento segundo a razão áurea......................................22

Figura 4 – Construção da razão áurea em um segmento dado........................................28

Figura 5 – Construção de um triângulo áureo.................................................................29

Figura 6 – Construção de um pentágono regular dado o seu lado...................................31

Figura 7 – Construção de um Pentágono Regular inscrito em uma circunferência dado

raio..................................................................................................................................32

Figura 8 –