Geometria Espacial

Geometria Espacial

Prismas

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

Assim, temos:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.

Elementos do prisma

Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases:as regiões poligonais R e S

• altura:a distância h entre os planos

• arestas das bases:os lados ( dos polígonos)

• arestas laterais:os segmentos

• faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação

Um prisma pode ser:

• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

prisma reto

prisma oblíquo

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

prisma regular triangular

prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção

Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos:

AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases

AT = AL + 2AB

Vejamos um exemplo.

Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

Paralelepípedo

Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base

dp = diagonal do paralelepípedo

Na base ABFE, temos:

No triângulo AFD, temos:

Área lateral

Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)

Área total

Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)

Volume

Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:

Cubo