IGUALDADE DO ANEL: ANÉIS DO ISOMORFORO

SUMÁRIO

ANÉIS.............................................................................................3

ELEMENTOS INVERSÍVEIS.....................................................9

IGUALDADE DE ANÉIS: ANÉIS ISOMORFOS.....................9

DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE................................................11

REFERÊNCIAS............................................................................13

Anéis

Um anel é a estrutura algébrica que consiste de um conjunto A munido de duas operações chamadas adição e multiplicação, que satisfazem às seguintes propriedades.

(A1) A adição é associativa: a + (b + c) = (a + b) + c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ A.

(A2) A adição é comutativa: a + b = b + a, quaisquer que sejam a, b ∈ A.

(A3) A adição possui elemento neutro: existe e ∈ A tal que a + e = a, qualquer que seja a ∈ A.

(A4) Todo elemento possui simétrico em relação à adição: para todo a ∈ A existe a’ ∈ A tal que a + a’ = e.

(M1) A multiplicação é associativa: a . (b . c) = (a . b) . c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ A.

(M2) A multiplicação é comutativa: a . b = b . a, quaisquer que sejam a, b ∈ A.

(M3) A multiplicação possui elemento neutro: existe f ∈ A, f ≠ e, tal que a . f = a, qualquer que seja a ∈ A.

(AM) A multiplicação é distributiva em relação à adição: a . (b + c) = a . b + a . c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ A.

Normalmente, a referência a um anel genérico é feita apenas pela indicação do conjunto, ficando subentendidas as duas operações adição e multiplicação. Indicaremos um anel por (A, # , *), onde A é o conjunto, # e * são, respectivamente, as operações de adição e de multiplicação definidas no conjunto. Como nos naturais, uma imagem de uma adição a + b é chamada soma e uma imagem de uma multiplicação a . b é chamada produto. Na soma a + b, a e b são chamados parcelas e no produto a . b, a e b são chamados fatores. O produto a . a pode ser indicado por a²

Consideremos, para exemplificar, um mostrador de um relógio.

Imagine que num determinado instante o ponteiro das horas esteja sobre a marca das 11 horas.

Três horas após este instante o ponteiro estará sobre a marca das 2 horas;

seis horas após aquele instante o ponteiro estará sobre 5 horas

e 11 horas após, ele estará sobre as 10 horas.

Naturalmente, podemos expressar estes fatos através de uma operação definida no conjunto

I12 = {1, 2, 3, ..., 12} pondo

11 + 3 = 2

11 + 6 = 5

11 + 11 = 10

Imagine agora que o ponteiro das horas esteja sobre a marcação das doze horas. Decorrido três vezes o intervalo de tempo de sete horas, o ponteiro ocupará a marca das nove horas o que justifica a igualdade 3 . 7 = 9. Isto mostra que, de forma natural, pode-se definir uma adição e uma multiplicação em I12 de acordo com as seguintes tabelas, onde o elemento da linha i e da coluna j, representa i + j na primeira e i . j na segunda.

Observamos que a + 12 = a, para todo a ∈ I12, o que mostra que 12 é elemento neutro da adição. Precisa-se observar também que a . 1 = a, qualquer que seja a ∈ I12, o que mostra que 1 é elemento neutro da multiplicação. Além disso, deve ser observado que as duas operações são claramente comutativas.

As demonstrações de que estas operações são associativas e que a multiplicação é distributiva em relação à adição requereriam que todos os casos possíveis fossem verificados, o que evidentemente seria extremamente desgastante. Observamos que:

(5 + 9) + 8 = 2 + 8 = 10,

5 + (9 + 8) = 5 + 5 = 10,

que

(5 . 8) . 9 = 4 . 9 = 12,

5 . (8 . 9) = 5 . 12 = 12

e que

5 . (7 + 3) = 5 . 10 = 2,

5 . 7 + 5 . 3 = 11 + 3 = 2.

É fácil ver também que todo elemento tem simétrico: o simétrico de 1 é 11, o simétrico de 2 é 10, o simétrico de 3 é 9, e assim por diante. Temos então que I12 munido destas operações é um anel.

Para outro exemplo, considere os dias da semana, associando os naturais 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 aos dias domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira e sábado, respectivamente. Como se sabe, se estivermos numa quinta-feira, após o decurso de seis dias iremos para uma quarta-feira. Isto poderia ser expresso por 5 + 6 = 4; do mesmo modo, se estivermos num domingo e forem decorridos sete dias iremos para um outro domingo. Ou seja, 1 + 7 = 1. De forma semelhante, decorridos três vezes o período de quatro dias, a partir do domingo, iremos parar numa quinta-feira (o primeiro período terminaria numa quarta-feira, o segundo terminaria num domingo e, então, o terceiro acabaria numa quinta-feira). Assim, 3 . 4 = 5.

Desta forma, estabelecemos duas operações no conjunto I7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Do mesmo modo que o I12, o conjunto I7 munido das operações acima é um anel. O conjunto dos naturais não é um anel pelo fato de que não existe elemento neutro para adição.

O elemento neutro da adição é chamado zero ou elemento nulo e é representado pelo símbolo 0. Observe que no anel I12 o elemento neutro da adição é 12 e, portanto, neste anel 12 = 0; em I7, 7 = 0. Um elemento de um anel diferente do elemento neutro da adição é dito não nulo.

Por sua vez, o elemento neutro (único) da multiplicação