Matematica Gráfico

Exemplo

[pic]

Representação Gráfica

Ao estudar a função exponencial, vimos que ela é bijetora, portanto admite função inversa, que é a logarítmica. Do estudo das funções inversas, descobrimos que, no plano cartesiano, seus gráficos são simétricos em relação a bissetriz do 1^ e 3^ quadrantes. Assim, para as funções exponencial e logarítmica, de base [pic]e [pic], temos:

|[pic] |

|Figura 45.1: Função logarítmica com base [pic] |

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|[pic] |

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|Figura 45.2: Função logarítmica com base [pic] |

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Exemplos:

Problema 1: O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado por m(jc) = 10.000 • 1,05*. Determine após quanto tempo o montante será de $ 40.000,00.

1a Solução:

Na expressão acima, vamos substituir M(x) - 40.000

10.000-1,05* =40.000

40.000 ' 10.000

1,05* = 4 Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

In 1,05* = In4

Aplicando a Propriedade 3, ou seja, In Ak = k • In A, temos

x =

x- In 1,05 = In 4 In 4

In 1,05

Funções Polinomial

Um polinômio (ou função polinomial) de grau n é uma função da forma

[pic]+ ... + [pic]

onde os coeficientes [pic],..., [pic]são números reais conhecidos, [pic]e n é um número natural. O valor de n determina o grau do polinômio. Cada uma das parcelas [pic]de um polinômio é chamada de monômio de grau i .

Exemplo :

A função afim f(x) = ax + b e a função quadrática [pic], onde a, b e c são reais quaisquer e a não é nulo, são exemplos de polinômios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. Um polinômio de grau zero é uma função constante. Assim, as funções f(x) = 3x − 4, [pic]e f(x) = 3 são polinômios de graus 1, 2 e zero, respectivamente.

Exemplo :

A função V(h) = [pic], obtida no estudo do problema da caixa, é um exemplo de um polinômio de terceiro grau pois pode ser reescrita como [pic].

Exemplo :

As funções [pic]e [pic]não são funções polinomiais pois não podem ser reescritas na forma

[pic]+ ... + [pic]

Função Exponencial

Usando a calculadora, obtemos o valor de x:

1,38629436 S 0,04879016

x a 28,41340057 x s 28,4

o que permite concluir que o montante da dívida será de $ 40.000,00 entre o 28a e o 29a mês.

2a Solução:

Na expressão acima, vamos substituir M(x) = 40.000

10.000 • 1,05* = 40.000 Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

ln(10.000 • 1,05*) = In 40.000 Aplicando a Propriedade l, ou seja, ln(A • B) = In A + In B, temos

In 10.000 + In 1,05* = In 40.000 Aplicando a Propriedade 3, ou seja, lnAk = k • In A, temos

In 10.000 + x-In 1,05 = In 40.000 x • In 1,05 = In 40.000 - In 10.000 In 40.000-In 10.000 In 1,05

10,59663473 - 9,21034037 0,04879016

= 1,38629436 3 0,04879016

* * 28,41340057 x * 28,4

o que permite concluir que o montante da dívida será de $ 40.000,00 entre o 28a e o 29a mês.

A 2a solução exemplifica a aplicação de duas das três propriedades enunciadas. É possível resolver o problema utilizando a segunda e a terceira propriedades enunciadas, entretanto essa solução, bem como a 2a solu cão, é mais extensa que a 1a solução, o que nos motiva a resolver problemas desse tipo seguindo passos similares aos da 1a solução.

Exemplo :

Segundo o Exemplo 4, para um carro cujo valor inicial é $ 35.000,00 e cuja depreciação é de 12,5% ao ano, obtemos o valor V como função do tempo t por meio de V = 35.000 • 0,875*. Determine após quanto tempo o valor do carro é a metade do valor inicial.

Solução:

Em V = 35.000 • 0,875*, vamos substituir V ~ 17.500, que é a metade do valor inicial 35.000:

35.000 • 0,875* = 17.500

0,875f = 0,5 Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

In 0,875* = In 0,5 Aplicando a Propriedade 3, ou seja, In A* = k • In A, temos

t- In 0,875 = In 0,5

In 0,5 In 0,875

Usando a calculadora, obtemos o valor de t:

^-0,69314718 - 0,13353139 í- 5,19089317 t ^ 5,2

o que permite concluir que o valor do carro será a metade do valor inicial entre o 5a e o 6" anos.