Matemática Financeira

- OPERAÇOES COM TAXAS DE JUROS:

INTRODUÇÃO:

Dentre as inúmeras variáveis que fazem parte de uma operação financeira, a mais importante é a taxa de juros. Nem sempre a taxa de juros informada está pronta para ser utilizada no cálculo financeiro. Este capitulo tem como objetivo estudar as possíveis modificações que a taxa de juros deverá sofrer como por exemplo, quando ocorrer situações como em que o prazo da operação não coincide com a unidade de tempo da taxa de juros, ou quando a unidade de tempo da taxa de juros não coincide com o período de capitalização. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do ponto de vista da matemática financeira.

TAXA EQUIVALENTE:

A taxa equivalente não é um tipo de taxa de juros é apenas uma forma de operacionalizar as taxas quando os prazos que se referem as taxas não coincidem com o prazos da operação financeira.. Diante de tal situação, as taxas serão convertidas para os prazos da operação para que fiquem uniformes com relação ao tempo. Essa conversão é feita através de um processo de equivalência.

A Matemática Financeira diz que duas ou mais taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzimos o mesmo montante. Tal conceito pode ser aplicado tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos.

TAXA EQUIVALENTE A JUROS COMPOSTOS

Como já foi dito anteriormente, a conceituação de equivalência de taxas estabelece que duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um capital de mesmo valor.

O conceito de taxas equivalentes é válido para os dois regimes de capitalização existentes, porém o que os diferencia é com relação a aplicação, da metodologia de cálculo. Já vimos a metodologia a ser aplicada a Juros Simples, veremos agora a metodologia a ser aplicada a Juros Compostos:

EXEMPLO: Uma aplicação de R$ 1.000 aplicada pelo prazo de um ano. Se o capital for aplicado à taxa de 12,682% ao ano, ou à taxa de 1% ao mês, verificar se as duas taxas são equivalentes.

Solução: Considerando que a aplicação é feita pelo prazo de 1 ano e como as duas taxas devem produzir o mesmo montante, ao final do mesmo prazo, ou seja 1 ano ou 12 meses, tem-se:

FV1 = PV x ( 1 + ia )n = 1.000 x ( 1 + 0,12682) 1

FV1 = R$ 1.126,82

Onde PV = 1.000 I1 = 12% ano n1 = 1 ano

FV2 = PV x ( 1 + ia )n = 1.000 x ( 1 + 0,01) 12

FV2 = R$ 1.126,85

Onde PV = 1.000 i2 = 1% ao mês n2= 12 meses

Do exemplo anterior depreende-se que as taxas efetivas de 12% ao ano e 1% ao mês são equivalentes, pois resultam no mesmo montante (FV1 = FV2= R$ 1.126,85) a partir do mesmo capital no final de 1 ano ou 12 meses.

A partir dessa colocação,podemos determinar qualquer taxa equivalente ,quando dada uma outra taxa, aplicando o conceito de equivalência a juros compostos.

EXPRESSÃO DE CÁCULO DE TAXAS EQUIVALENTES:

A partir do conceito de taxas equivalentes, podemos deduzir uma fórmula geral para sua obtenção.

Observe, portanto, que, para o calculo de taxa equivalente, a juros compostos, basta comparar os fatores de valor futuro ( 1 + i1) n ou seja

Assumindo por convenção que:

• i1 = é a taxa de juros procurada, desejada ou pedida;

• i2 = é a taxa de juros conhecida ou dada;

• n1 = é o tempo da taxa procurada, desejada ou pedida;

• n2 = é o tempo da taxa conhecida ou dada;

Isolando a variável i 1 como a taxa de juros equivalente procurada, teremos:

Pode-se resolver qualquer problema de equivalência de taxa de juros compostos com o auxilio de uma fórmula geral:

EXEMPLOS DE APLICAÇAO:

1º) Qual a taxa anual equivalente a juros compostos a 2,0% ao mês?

Tem-se:

I1 = ? n1 = 1 ano = 12 meses

I2 = 20% n2 = 1 mes

Quantos meses tem 1 ano = 12 meses, portanto n1 = 12 meses

i1 =( ( 1 + i2) n1/n2 –1) x 100

i 1 = ( ( 1 + 0,020) 12/1 ) –1 x 100

i 1 = 1, 268242 –1 x 100

i1 = 26,82% ao ano

Resolvendo pela HP 12 C:

20 ENTER

100 DIVIDE

1 +

12 ENTER

1 DIVIDE

YX ELEVA ( POTENCIA)

1 –

100 X = 26, 82% AO ANO

2º) Qual a taxa mensal equivalente a taxa de juros compostos de 26,82% ao ano?

I1 = ? n1 = 1 mes

I2 = 26,82% n2 = 1 ano = 12 meses

Quantos meses tem 1 ano = 12 meses, portanto n2, passa a para 12 meses

i1 =( ( 1 +