Matemática Financeira

Introdução

Este trabalho tem como objetivo reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, introduzir modificações no processo produtivo, atuar preventivamente, transferir e generalizar conhecimentos, e exercer, em diferentes graus de complexidade, o processo da tomada de decisão. Matemática financeira, de modo geral, é o ramo da matemática que estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. A forma como os recursos estão sendo ou serão empregados, de maneira a maximizar o resultado, é uma das aplicações fundamentais da Matemática Financeira. Com as ferramentas adequadas pode-se também comparar alternativas, optando por aquela que mais benefícios nos trarão, ou menos prejuízo acarretará.

Etapa – 3

1.1- Conceito Taxa de Juros Compostos

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)

2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)

3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1+ i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P. (1 + i)n

Observação: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Conceito de Taxa de Juros

A grande preocupação dos agentes financeiros é saber o custo do dinheiro nos mercados. Esse custo é dado pela taxa de juros (i)* que representa o custo de cada unidade de capital por unidade de tempo. Assim, a taxa de juros (i)*, expressa em forma

unitária, é a relação entre o juro gerado numa operação financeira e o capital nela empregado; observe que essa taxa de juros está relacionada com o tempo da operação financeira. Denomine-se de J o valor do juro gerado por um capital C num determinado

tempo, expresso em número de períodos; a taxa de juros para esse intervalo de tempo, expressa em forma unitária, é definida como:

i = j/c ap

ap = ao período (de tempo)

Essa taxa de juros pode ser expressa também em forma percentual, bastando ajustar a fórmula acima.

i =J/C*100 % ap

ap = ao período de tempo.

Ressaltando que:

Os números que expressam a taxa de juros são acompanhados de uma expressão que indica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas da seguinte forma:

ad = ao dia, am = ao mês,

at = ao trimestre, aq = ao quadrimestre,

as = ao semestre e aa = ao ano.

Exemplo 1.1: um capital de $ 1.000,00 rende juros de $ 20,00 em dois meses. Qual a taxa de juros?

Solução: a resposta vem da própria definição de taxa de juros e dos dados, a saber:

C = 1.000,00 J = 20,00

Exemplo 1.2: um capital de $ 1.000,00 rende juros de $ 60,00 em

seis meses. Qual a taxa de juros?

Solução: análoga ao exemplo anterior:

C = 1.000,00 J = 60,00

i = J/C = 60/1.000 = 0,06 as (ao semestre) Forma unitária

i = (J/C) * 100 = 6% as (ao semestre) Forma percentual

Ressaltamos que, em cada caso, a referência temporal; no primeiro exemplo, a taxa de juros está expressa para o bimestre, porque os juros foram gerados em dois meses, enquanto, no segundo exemplo, a taxa de juros está expressa em semestre, que é o período no qual os juros foram gerados. Essa referência temporal é essencial e não pode ser esquecida. Com essas definições, retome a situação prática 1.3 e procure verificar qual o custo de cada proposta.

O juro devido é:

J = M − C = 120.000 −100.000 = 20.000 e a taxa de juros proposta pode ser calculada:

i= J/C=20.000/100.000=0,2 aq ou

i=J/C20. 000/100.000*100=20% aq (ao quadrimestre)

Segunda proposta

O juro devido é:

J = M − C = 116.000 − 95.000 = 21.000 e a taxa de juros proposta pode ser calculada:

I=J/C 21.000/95.000=0,221 aq ou

I=J/C=21.000/95.000*100=2,10% aq

Então o custo do dinheiro para a primeira proposta é 20% aq e para a segunda proposta é 22,10% aq. A comparação é agora direta e imediata e o levaria a escolher a primeira proposta por ser a mais barata. Observe que a unidade de tempo utilizada é o quadrimestre (4meses).

Juros simples e compostos

A taxa de juros em regime de juros compostos precisa ser definida com clareza e precisão. Em regime de juros compostos as taxas de juros proporcionais não são equivalentes. Em consequência, o primeiro passo para se trabalhar em regime de juros compostos é compatibilizar taxas de juros e períodos de capitalização.