Matemática polinomial

SÉRIES FORMAIS

Eduardo Tengan - Colégio Etapa

♦ Nível Avançado.

Um polinômio é uma expressão da forma

( ) 2 ... .

0 1 2

n

n p x = a + a x + a x + + a x

Uma série formal é uma expressão ainda mais simples - basta apagar o último termo:

( ) 2 ...

0 1 2 p x = a + a x + a x +

Somas e produtos são definidos de maneira análoga às operações correspondentes com

polinômios. Assim, por exemplo,

(1− 3x + 32 x2 − 33 x3 + ...)(1+ 3x) =1− 3x + 32 x2 − 33 x3 + ...

+ 3x − 32 x2 + 33 x3 − ...

= 1

de modo que podemos escrever 1 3 32 2 33 3 ... 1/(1 3 ). − x + x − x + = + x De maneira geral,

podemos "compactar" uma série formal 1 + ax + a2x2 +… na forma 1/(1 – ax), que certamente

ocupa bem menos espaço que uma série infinita…

Vejamos uma primeira aplicação das séries formais. Vamos determinar uma "formula fechada"

para a seqüência definida por 0 0 a = , 1 1 a = e n n n a 5a 6a 2 1 + = + − para n ≥ 0. A idéia é considerar

a série formal ( ) 2 ...

0 1 2 f x = a + a x + a x + e tentar "compactá-la" e depois "descompactá-la".

Para alcançar o primeiro objetivo, observe que

( ) 3 ...

3

2

0 1 2 f x = a + a x + a x + a x +

5 ( ) 5 5 5 3 ...

2

2

0 1 − xf x = − a x − a x − a x +

6 ( ) 6 6 3 ...

1

2

0

x2 f x = a x + a x +

Somando as equações acima, os coeficientes de xn , n ≥ 2, anulam-se e ficamos com

0 1 0 2

2

1 5 6

(1 5 6 ) ( ) ( 5 ) ( )

x x

x

x x f x a a a x f x

− +

− + = + − ⇔ =

Agora, como descompactar f(x)? O truque aqui é "quebrá-lo" em pedaços que sabemos como

descompactar.

Observe que 1− 5x + 6x2 = (1− 2x)(1− 3x) e que é razoável procurar constantes a e b tais que

2 (1 2 )(1 3 ) 1 5 6 2

( ) (3 2 )

1 2 1 3 1 5 6 x x

x

x x

a b a b x

x x

x

x

b

x

a

− +

=

− −

⇔ + − +

− +

=

−

+

−

1 e 1

3 2 1

0

⇔ = − =

  

+ = −

+ =

⇔ a b

a b

a b

Logo

(1 3 3 3 ...) (1 2 2 2 ...)

1 2

1

1 3

1

1 5 6

( ) 2 2 3 3 2 2 3 3

2 = + + + + − + + + +

−

−

−

=

− +

= x x x x x x

x x x x

x

f x

(3 2 ) (3 2 ) (3 2 ) (3 2 ) ... = 0 − 0 + 1 − 1 x + 2 − 2 x2 + 3 − 3 x3 +

Assim, o coeficiente de xn em f(x) (denotado por [xn ]f (x)) é 3n − 2n. Mas [ ] n

xn f (x) = a , pela

definição de f(x), logo 3 2 . n n

n a = −

PROBLEMA 1

Utilizando séries formais, encontre "formulas fechadas" para as seguintes seqüências:

a)