MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAS E LOGGARICAS

Aula 7 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

1. Integração de funções exponenciais:

∫ dx = + C , pois ( )´= .

Exemplos:

a) ∫4 dx

= 4 ∫ dx = 4. + C

b) ∫ dx, pela regra de substituição: u = 2x e du= 2 dx → dx = du/2

Assim, ∫ .du/2 =

∫ . du/2 =

1/2 ∫ . du =

1/2. + C =

Substituindo u por 2x, temos:

1/2. + C

c) ∫x. dx , pela regra de substituição: u = 3x² e du= 6x dx → x.dx = du/6

Assim, ∫x. dx = ∫ .xdx =

∫eu du/6 = =

1/6∫

1/6 + C

Substituindo u por 3x², temos:

1/6 + C

d) ∫x². dx, pela regra de substituição: u = 3x³ e du= 9x²dx → x².dx = du/9

Assim, ∫x². dx = ∫ dx

∫ dx =

= ∫eu du/9 =

1/9∫

= eu/9 + C

Substituindo u por 3x3, temos:

e3x³/9 + C

Exercícios:

a) ∫ 5 exdx =

b) ∫ e3xdx =

c) ∫ x.e5x²dx =

d) ∫ x² e4x³dx =

e) ∫ 2x ex²dx =

Toda integral da forma ∫ será dada por ln IxI + C

Exemplos:

a) ∫2x/1 + x² . dx , fazemos u = 1 +x². Então, du= 2xdx. Temos

∫2x/1 + x² . dx = ∫ du/u =

= ln IuI + C

Substituindo u por 1+ x², temos

= ln I 1+x²I + C

b) ∫cotan y dy =

∫1/tg y dy =

∫ 1/seny/cos y dy =

∫cosy/ sen y dy ,

u = sen y → du = cos y dy

Assim:

∫ du/u = ln IuI + C

Substituindo u por sen y, temos

= ln I sen yI + C

c) ∫2x / x² + 5 dx =

u = x² +5 → du = 2xdx

Assim:

∫ du/u = ln IuI + C

Substituindo u por x² + 5, temos

= ln I x² + 5I + C

d) ∫ 4/x .dx = 4 ∫ dx/x

4. ln IxI + C

e) ∫ tgx dx =

∫sen x/cos x dx =

u = cos x → du = -sen x dx , ou seja –du = senx dx

∫ - du/u =

-1 ∫du/u =

- ln IuI + C

Substituindo u por cos x, temos

= - ln I cos x I + C

Exercícios:

a) ∫4x³dx/(2 +x4)

b) ∫2x dx/(x2+8)

c) ∫ 2/x dx

d) ∫secydy

e) ∫x2/(1+x³)dx

MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES:

Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,

[f(x).g(x)]´ = f(x). g´(x) + g(x). f´(x)]

ou,

f(x).g´(x) = [f(x). g(x)]´ - g(x).f´(x).

Integrando ambos os lados da equação, obtemos:

∫f(x).g´(x)dx = ∫[f(x). g(x)]´dx - ∫g(x).f´(x) dx

ou