OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA

OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA

DEFINIÇÃO 1 Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f : E × E → E recebe o

nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E).

Notação: Uma operação f sobre E associa a cada par (x, y) de E × E em elemento de E

que será denotado por x ∗ y. Assim, x ∗ y é uma forma de indicar f(x, y). Diremos também

que E é um conjunto munido da operação ∗. O elemento x ∗ y é chamado composto de x e

y pela operação ∗.

Outras notações usuais para indicar uma operação sobre E :

ˆ Notação aditiva: neste caso o símbolo da operação é +, a operação é chamada adição,

o composto x + y é chamado soma e os termos x e y são as parcelas.

ˆ Notação multiplicativa: neste caso o símbolo da operação é · ou a simples justaposição

dos elementos, a operação é chamada multiplicação, o composto x · y ou xy é chamado

produto e os termos x e y são os fatores.

ˆ Outros símbolos utilizados para operação genéricas são: △, ⊤, ⊥, ×, ⊗, ⊕ etc.

EXEMPLO 1 São exemplos de leis de composição interna.

(a) A aplicação f : N×N → N tal que f(x, y) = x+y, ou seja, f associa a cada par (x, y)

de números naturais a sua soma x+y. A aplicação f é conhecida como operação de

adição sobre N. A operação de adição pode ser estendida para Z, Q, R e C.

(b) A aplicação f : N × N → N tal que f(x, y) = x · y, ou seja, f associa a cada par (x, y)

de números naturais o seu produto x· y. A aplicação f é conhecida como operação de

multiplicação sobre N. A operação de multiplicação pode ser estendida para Z, Q, R

e C.

(c) A aplicação h : P(E) × P(E) → P(E), em que P(E) indica o conjunto das partes de

E, tal que h(X, Y ) = X ∩ Y, ou seja, h associa a cada par de conjuntos (X, Y ) a sua

interseção X ∩ Y. Essa aplicação é conhecida como operação de interseção sobre E.

(d) A aplicação f : N∗ × N∗ → N∗ tal que f(x, y) = xy, é operação de potenciação sobre

N∗. Observe que esta operação não pode ser estendida para Z∗.

(e) A aplicação f : Q∗ × Q∗ → Q∗ tal que f(x, y) =

x

y

, é operação de divisão sobre Q∗.

Observe que esta operação pode ser estendida para R∗ e C∗. Lembrando que

a