Ponto E Reta

INTRODUÇÃO

Neste trabalho que ora vos vou apresentar, irei explicar um pouco sobre Geometria Analítica do Ponto e da Reta. E que a geometria analítica foi criada pelo francês René Descartes, onde ele Alia a álgebra à geometria, e ela possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema coordenadas; desse modo as figuras podem ser representadas por meio de pares ordenados, equações ou inequações.

Irá conter no trabalho um estudo analítico sobre o Ponto e Reta, equações gerais dos ambos assuntos, exercícios resolvidos como base da matéria pesquisada, desenhos geométricos, no qual possamos identificar o ponto da reta, introdução dos ambos assuntos, uma conclusão onde poderei solicitar minhas idéias sobre o determinado enfoque do assunto e por final irá conter uma referência bibliográfica para saber de onde foi retirado minhas pesquisas.

2. Estudo Analítico do Ponto

2.1 Introdução e histórico

O estudo da Geometria Analítica foi criado por volta de 1628 pelo francês René Descartes (1596-1650), um dos maiores matemáticos do século XVII. Nessa época, Descartes deixou a França e foi para a Holanda, onde viveu 20 anos; nesse país escreveu a obra La géométrie, por meio da qual seus contemporâneos tiveram conhecimento da geometria analítica, também conhecida como geometria cartesiana.

A Geometria de Descartes estabelece relações entre a álgebra e a geômetra e métodos que auxiliam a resolução de vários problemas. Nela, uma figura geométrica pode ter suas propriedades analisadas e estudadas através de processos algébricos.

Ponto não se define, não possui dimensões e é todo o objeto em que se analisa sua posição e movimento, sem considerarem-se suas dimensões.

2.2 Ponto médio de um segmento

Consideramos os pontos distintos A ; e B ; e seja M ; o ponto médio do segmento de reta .

Figura 1 – Ponto médio de um segmento.

Projetando ortogonalmente os pontos A, B e M sobre os eixos Ox e Ou e aplicando o teorema linear de Tales, obtemos:

= + e = +

A abscissa (a ordenada) do ponto médio de um segmento de reta é a média aritmética das ordenadas dos extremos do segmento.

2.2.1 Exemplo

• Descubra qual são as coordenadas do ponto B sabendo que ele é simétrico do ponto A (–6; 8) em relação ao ponto M (–1; 3).

Resolução:

Figura 2 – Exemplo ponto médio de um segmento.

Como B é simétrico de A em relação a M, então, M é o ponto médio de AB. Portanto, temos:

XM = XA + XB – 1 = – 6 + XB XB = 4

2 2

YM = YA + YB 3 = 8 + YB YB = – 2

2 2

Então, XB = 4 e YB = – 2

2. 3 Baricentro de um triângulo

Baricentro, ele se divide cada mediana em dois segmentos, de modo que aquele que tem como extremidades um vértice e o baricentro é o dobro daquele que tem como extremidades o baricentro e o ponto médio do lado do triângulo.

Então no triângulo ABC de vértices A ; , B ; e C ; , sendo G ; o seu baricentro tem:

Figura 3 – Baricentro de um triângulo.

Considerando na medida o ponto médio H de e levando em conta que G é ponto médio de , após os devidos cálculos, podemos concluir que:

O baricentro G ; de um triângulo qualquer de vértices A ; , B ; e C ; têm coordenadas: = e

2.3.1 Exemplo

• O ponto A (–2; 2) é um dos vértices do triângulo ABC e o ponto G (1; 1) é o seu baricentro. Ache as coordenadas de B e C, sabendo que D(–1; 0) é o ponto médio de AB.

Resolução:

Figura 4 – Exemplo baricentro de um triângulo.

Como D é o ponto médio de AB, então:

Xo = XA + XB – 1 = – 2 + XB XB = 0

2 2

YO = YA + YB 0 = 2 + YB YB = – 2

2 2

Por outro lado, o enunciado nos informa que G é o baricentro do triângulo, portanto, podemos escrever:

XG = XA + XB + XC – 1 = – 2 + 0 + XC XC = 5

3 3

YG = YA + YB + YC – 1 =2 – 2 + YC YC = 3

3 3

Logo, temos B (0; –2) e C (5; 3).

2.4 Distância entre dois pontos

Sejam A ; , B ; dois pontos quaisquer do plano cartesiano.

Figura 5 – Distância entre dois pontos.

À distância d entre os pontos A e B é a medida do segmento

Como o triângulo destacado é retângulo e é sua hipotenusa, aplicando o teorema de Pitágoras, temos: ou

2.4.1 Exemplo

• O ponto A pertence ao eixo vertical. Calcule suas coordenas sabendo que ele dista 5 unidades de comprimento do ponto B (4; 2)

Resolução:

Figura 6 – Exemplo distância entre dois pontos.

Como A pertence ao eixo vertical, então XA = 0 e, daí, concluímos que A (0; YA). Sabemos que dAB = 5, logo:

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