Probabilidade E Estatística

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Prof. Narciso Gonçalves da Silva

www.pessoal.utfpr.edu.br/ngsilva

Probabilidade e EstatísticaUNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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Probabilidade

Experimento Aleatório

Um experimento é dito aleatório quando satisfaz as seguintes

condições:

• Pode ser repetido indefinidamente

• É possível descrever todos os resultados do experimento,

sem predizer com certeza qual ocorrerá

• Obedece à regularidade estatística, ou seja, quando o

experimento for repetido um grande número de vezes,

surgirá uma configuração definidaUNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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Probabilidade

Experimento Aleatório

Exemplos:

• Lançar um dado e observar a face superior

• Lançar duas moedas e verificar as faces que ocorrem

• Verificar o tempo de vida de uma lâmpadaUNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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Probabilidade

Espaço Amostral

É o conjunto Ω de todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório

Exemplo:

Considere o experimento aleatório sendo o lançamento de duas

moedas não viciadas.

E = “duas moedas não viciadas são lançadas”

Seja cara = k e coroa = c

Ω = {(k,k), (k,c), (c,k), (c,c)}UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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Probabilidade

Tipos de Espaço Amostral

1) Finito: tem um número finito de elementos

Exemplo: Lançamento de um dado

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2) Infinito enumerável ou contável: tem um número

infinito de elementos enumeráveis

Exemplo: Uma moeda é lançada sucessivas vezes até que ocorra

uma coroa (c)

Ω = {c, kc, kkc, kkkc, kkkkc, ... }

3) Infinito não enumerável ou não contável: tem um

número infinito de elementos não enumeráveis

Exemplo: Observar o tempo de vida de uma lâmpada

Ω = {x / x ϵ R, x ≥ 0}UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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Probabilidade

Evento

É qualquer subconjunto de um espaço amostral Ω

Sempre deve ser considerado o evento impossível (aquele que

nunca ocorre) e o evento certo (que é próprio espaço amostral Ω)

Exemplo:

No lançamento de um dado não viciado, considere o evento A

quando ocorre um número par:

E = “uma dado não viciado é lançado”

A = “ face par ocorre”

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {2, 4, 6}UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Ω

a) União

Ω

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b) Intersecção

Ω

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Ω

c) Diferença

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d) Complementar

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e) Mutuamente Excludentes

Ω

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Exemplos:

1) Sendo os eventos A = {1, 3, 4, 7, 8}, B = {1, 2, 5, 6, 7, 9}

e Ω = N, determinar:

a) A U B

b) A B

c) A – B

d) B – A

e) Ac

∩

B

∩

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Exemplos:

2) Numa pesquisa, das pessoas entrevistadas, 120 assistem a emissora A, 150

assistem a emissora B, 40 assistem as duas emissoras e 120 não assistem

nenhuma das emissoras. Quantas pessoas foram entrevistadas?

Resposta: 350 pessoas

3) Sejam A, B e C eventos