Resolução Numérica De Problema De Condução De Calor Bidimensional Por Método Dos Elementos Finitos

Método dos Elementos Finitos

Princípios gerais

Aproximação por funções

O princípio fundamental de elementos finitos consiste em utilizar funções, de diferentes ordem, para aproximar a solução dentro do domínio do elemento (subdomínio do problema). Normalmente quando se tem uma determinada quantidade expressa em termos de uma variação, espacial ou temporal, pode-se determinar uma equação de aproximação. A qualidade desta aproximação pode ser determinada através de um desvio expresso por:

e(x) = u(x) − uex(x)

sendo e(x) o desvio, u(x) a aproximação e uex o valor exato desta aproximação para este mesmo ponto.

Para construir uma aproximação exata é necessário escrever a aproximação de u(x) em função da posição e dos parâmetros de aproximação:

escrever uma função contendo n parâmetros ai como, por exemplo u(x) = a1 + a2 x + a3x2 + ••• + an xn − 1, ou qualquer outra função onde:

u = f(x,a1,a2,a3,•••an)

determinar os parâmetros ai da aproximação usando uma determinada regra. Esta regra pode ser a de mínimos quadrados, ou ainda, a mais comum para determinação das funções de elementos finitos, a função em que o desvio e(x) = 0, nos pontos considerados.

Desta forma obtém-se uma função que simplesmente aproxima o comportamento da variável ao longo do domínio. Com esta aproximação podem ser obtidas, dentre outras coisas,:

uma expressão simples para uma função complexa ou difícil de ser manipulada, válida para um certo número de pontos que se deseje ou ainda com boa aproximação dentro de uma certa região;

soluções para equações diferenciais parciais ou ordinárias (normalmente associadas a problemas físicos).

Aproximação nodal

Este mesmo procedimento pode ser utilizado para expressar uma função para uma variável genérica em função dos pontos nodais. Para isto, note primeiro que nos casos anteriores poderia se fazer uma aproximação em função das variáveis a1,••• ,an, bastando para isto:

u(x) = P1(x)a1 + P2(x)a2 + ••• + Pn(x)an

sendo Pi chamada de função básica de interpolação (basis function).

Imagine que se tenha um domínio qualquer e se conheça os valores de uma função qualquer em pontos determinados. Pode-se montar uma função que represente o comportamento da variável em função do seu valor nestes pontos. Para uma função u(x) tem-se que para uma série de pontos nodais x1, x2, •••, xn os valores da função são, respectivamente, u1, u2, •••, un.

Pode-se desta forma fazer a aproximação nodal:

u(x) = N1(x)u1 + N2(x)u2 + ••• + Nn(x)um

ou ainda numa forma matricial:

sendo Ni chamada de função de interpolação (interpolation function)

Assim sendo, é possível notar que

como u(xi) = ui, as funções de interpolação assumem os valores::

o erro da aproximação nos pontos nodais é nulo.

e(x) = 0 se x = xi

Aproximação por Elementos Finitos

A construção das funções de aproximação u(x) vão se tornando mais difíceis a medida que o número de nós aumenta. Uma maior complexidade ainda é verificada quando o domínio V é irregular ou possui condições de contorno mais complexas. Por outro lado, as aproximações nodais de sub-domínio simplificam a obtenção da solução u(x) e são extremamente fáceis de serem implementadas em um computador. Este procedimento consiste, basicamente, dos seguintes passos:

divisão do domínio principal V em sub-domínios V e;

a escolha de uma aproximação nodal adequada para cada subdomínio. De maneira geral, ela depende das dos pontos nodais e aproximações utilizadas nas vizinhanças. O método dos elementos finitos é apenas um tipo de aproximação nodal por sub-domínio, sendo suas características principais:

a aproximação nodal dentro do sub-domínio depende apenas dos nós do próprio elemento;

a aproximação elementar ue(x) deve garantir um mínimo de continuidade entre dois elementos assim como nas suas fronteiras.

Algumas definições importantes:

Nós: são os pontos do sub-domínio onde a função é avaliada;

Coordenadas nodais: são as coordenadas geométricas dos pontos avaliados.

Variáveis nodais: são valores da função de interesse, u(x), nos nós.

Definição geométrica dos elementos.

Imagine o problema genérico aproximado por elementos compostos pelos nós 1, 2, 3 e 4 e compreendendo o domínio total entre x1 e x4. Os três elementos lineares seriam responsáveis pelo seguintes domínios:

Elemento 1 V 1 x1 < x < x2

Elemento 2 V 2 x2 < x < x3

Elemento 3 V 3 x3 < x < x4

Utilizando para cada um destes elementos de dois nós a função Lagrange tem-se que para cada elemento:

ui(x) = N1 u1 + N2 u2

sendo Ni dado pela expressão de Lagrange.

Regras para a discretização de domínios através de elementos finitos

A subdivisão de um domínio V em sub-domínios V e deve obedecer a algumas regras.

deve haver sempre uma fronteira comum entre os elementos adjacentes onde estarão os únicos pontos comuns entre os elementos. Estas fronteiras podem ser compostas por pontos, linhas ou áreas.

(a) Overlapping (b) Hole

Figura 2: Anomalias comuns na discretização de um domínio através de malhas.

não é permitida a existência de regiões comuns a mais de um elemento (overlapping) e nem regiões dentro do domínio que não pertençam a região alguma (holes). Estas