Teorema De Pitagoras

órmula e corolários[editar | editar código-fonte]

Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c.

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

c^2 = a^2 + b^2.

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser calculado:

c=\sqrt{b^2+a^2}, b=\sqrt{c^2-a^2} e a=\sqrt{c^2-b^2} .

Outro corolário do teorema é que:

“ Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, mas menor que a soma deles. 7 ”

maior que qualquer um dos catetos pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba + a², logo c² < (b+a)², logo c < b + a.

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras.8 O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes.9 Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides.10 E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield.11 12 13 O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

Por comparação de áreas[editar | editar código-fonte]

Pythagorean proof.png

Desenha-se um quadrado de lado b + a;

De modo a subdividir este quadrado em quatro retângulos, sendo dois deles quadrados de lados, respectivamente, a e b: Traça-se dois segmentos de reta paralelos a dois lados consecutivos do quadrado, sendo cada um deles interno ao quadrado e com o mesmo comprimento que o lado do quadrado;

Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retângulos, traçando-se as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;

A área da região que resta ao retirar-se os quatro triângulos retângulos é igual a b^2 + a^2;

Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado b + a, mas coloca-se os quatro triângulos retângulos noutra posição dentro do quadrado: a posição que deixa desocupada uma região que é um quadrado de lado c.

Assim, a área da região formada quando os quatro triângulos retângulos são retirados é igual a c^2.

Como b^2 + a^2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e c^2 representa a mesma área, então b^2 + a^2 = c^2. Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Por semelhança de triângulos[editar | editar código-fonte]

Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.

Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também,14 marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

\frac{a}{c}=\frac{e}{a} \mbox{ e } \frac{b}{c}=\frac{d}{b}.

O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.

Estas relações podem ser escritas como:

a^2=c\times e \mbox{ e }b^2=c\times d.

Somando estas duas igualdades, obtém-se

a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2 ,

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

a^2+b^2=c^2 \ .

Uma variante15 16 17 [editar | editar código-fonte]

Usando a mesma figura da demonstração acima, após ser mostrado que ΔABC, ΔACH e ΔCBH são semelhantes, pode-se demonstrar o teorema de Pitágoras usando-se o fato de que "a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes", da seguinte forma: Chamando-se a área de ΔABC de x, a área de ΔACH é x*(b/c)², e a área de ΔCBH é x*(a/c)² (pois c, b e a são as hipotenusas de ΔABC, ΔACH e ΔCBH, respectivamente). Então, como a área do triângulo inteiro é a soma das áreas dos dois triângulos menores, tem-se x*(a/c)² + x*(b/c)² = x, então (a/c)² + (b/c)² = 1, então a² + b² = c².

Demonstração de Bhaskara18 [editar | editar código-fonte]

Teorema-pitagoras-area-quadrado.png

A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que:

c^2 = 4 \cdot \frac {ab}{2}+ (b-a)^2

Logo:

c^2 = 2ab + b^2 -2ba + a^2 (o termo (b-a)² é um produto notável)

c^2 = b^2 + a^2 \ . (por comutatividade da multiplicação: 2ab = 2ba)

Por cálculo diferencial[editar | editar código-fonte]

Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de cálculo. É uma