Trab Geral De Calculo 3

EXEMPLOS COMPLEMENTARES

1) Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Inicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas e após duas horas perde-se 9% da massa original. Determine:

a) A massa restante após 12 horas.

b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade (meia-vida = half-life).

Solução: Seja a quantidade de substância presente no instante e como a substância diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente tem-se:

, onde:

Para temos:

Assim,

Por outro lado, para horas, miligramas, logo:

e portanto:

a) Para horas tem-se:

miligramas

b) Para miligramas tem-se:

horas

(ou para ser mais preciso, aproximadamente 14 horas 41 minutos e 57 segundos.)

Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos:

2) Uma barra de metal à temperatura de 60ºC foi colocada em uma sala com temperatura constante e igual a 5ºC. Após 10 minutos mediu-se a temperatura da barra acutilizando 40ºC. Pergunta-se:

a) Qual o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 10ºC?

b) Qual a temperatura da barra após 22 minutos?

Solução: A lei de Newton para a variação da temperatura diz:

• “A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente”

Seja:

- a temperatura do corpo

- a temperatura do meio ambiente

- a taxa de variação da temperatura do corpo

Assim, a lei de Newton fica: (1)

onde e é uma constante de proporcionalidade, positiva. O sinal negativo na frente de aparece a fim de tornar negativa em um processo de resfriamento.

A expressão (1) pode ser escrita assim:

cuja solução é:

Assim,

a) Para e ºC segue-se que: ºC

Por outro lado, minutos e ºC, onde

e assim

Quando ºC tem-se: minutos e 3 segundos

b) Após minutos temos:

ºC

Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos:

3) Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70oF, e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10oF. Após 0,5 minuto, o termômetro marcava 50oF. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t igual a 1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15oF? Resposta: 36,67oT e 3,06 minutos

4) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a “meia-vida” (half-life) da substância. Sugestão: Considere a substância com 100 mg.