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UMA PROPOSTA DE ABORDAGEM AO PROBLEMA DE FLÁVIO JOSEFO APLICADA AO ENSINO MÉDIO

Artigo: UMA PROPOSTA DE ABORDAGEM AO PROBLEMA DE FLÁVIO JOSEFO APLICADA AO ENSINO MÉDIO. Pesquise 790.000+ trabalhos acadêmicos

Por:   •  27/9/2013  •  8.418 Palavras (34 Páginas)  •  606 Visualizações

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE

NACIONAL - PROFMAT

UMA PROPOSTA DE ABORDAGEM AO PROBLEMA

DE FLÁVIO JOSEFO APLICADA AO ENSINO MÉDIO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Márcia Erondina Dias de Souza

SANTA MARIA, RS, BRASIL

2013

UMA PROPOSTA DE ABORDAGEM AO PROBLEMA DE

FLÁVIO JOSEFO APLICADA AO ENSINO MÉDIO

Márcia Erondina Dias de Souza

Dissertação apresentada ao curso de

Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional – PROFMAT,

da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito

parcial para obtenção do grau de

Mestre em Matemática

Orientadora: Prof.ª Drª Luciane Gobbi Tonet

SANTA MARIA, RS, BRASIL

2013

Ficha catalográfica elaborada através do Programa de Geração Automática

da Biblioteca Central da UFSM, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

Dias de Souza, Márcia Erondina

Uma proposta de abordagem ao problema de Flávio

Josefo aplicada ao Ensino Médio / Márcia Erondina Dias

de Souza.-2013.

61 p.; 30cm

Orientadora: Luciane Gobbi Tonet

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa

Maria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Programa de

Pós-Graduação em Matemática, RS, 2013

1. Problema de Flávio Josefo 2. Relações de

recorrência 3. Indução Matemática I. Gobbi Tonet, Luciane

II. Título.

4

Dedico ao meu amor,

José Otávio Silveira da Silva,

pelo companheirismo e carinho.

5

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus e ao meu Mestre, por todo amparo e proteção durante a

minha vida.

À Universidade Federal de Santa Maria e à Sociedade Brasileira de

Matemática, pela oportunidade de realização deste curso.

Aos professores pelos ensinamentos e por contribuírem para a minha

formação profissional. Em especial à Professora Carmen Mathias, pela sua

incansável dedicação ao curso.

À professora Luciane Gobbi Tonet, minha orientadora, pelo empenho,

dedicação na elaboração deste trabalho e pelas constantes palavras de incentivo.

A todos os colegas de curso, pela amizade e companheirismo nestes dois

anos de curso, em especial as colegas e amigas Ana Luiza Kessler e Renata

Magarinus.

À equipe diretiva e alunos da Escola Estadual de Ensino Médio Professora

Margot Terezinha Noal Giacomazzi, pela oportunidade que me deram de aprender

com todos vocês. E ao Professor Marcos Roberto Fonseca por organizar o grupo de

alunos para a realização da prática pedagógica tornar uma realidade.

À Escola Municipal de Ensino Fundamental Deputado Victor Issler, pela

parceria e incentivo para a conclusão deste curso.

Aos amigos que compreenderam as minhas ausências e por todo o carinho

demonstrado, em especial a minha amiga Jamile Forneck.

Aos meus irmãos Cecília, Lúcia, Letícia, João e Paulo, aos meus afilhados

Ana Júlia e Júlio César e ao Rodrigo por tornarem os meus dias mais felizes. Torço

pelo sucesso de todos vocês.

Aos meus professores da vida, meus pais, Jomar e Cândida, por terem

ensinado a importância dos estudos, e o verdadeiro significado da vida mas, acima

de tudo, por respeitarem as minhas escolhas.

E ao meu amor, Otávio, grande incentivador deste trabalho, pelo

companheirismo, apoio e por toda compreensão a mim dispensada.

6

RESUMO

Dissertação de Mestrado

Departamento de Matemática

Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT

Universidade Federal de Santa Maria

UMA PROPOSTA DE ABORDAGEM AO PROBLEMA

DE FLÁVIO JOSEFO APLICADA AO ENSINO MÉDIO

Autora: Márcia Erondina Dias de Souza

Orientadora: Drª Luciane Gobbi Tonet

Santa Maria, 15 de abril de 2013.

Neste trabalho, apresentamos uma sequência didática de atividades

elaboradas para um grupo de alunos do ensino médio, na faixa etária de 15 a 18

anos, tendo como principal objetivo estudar o problema proposto pelo matemático

Flávio Josefo, nos meados do ano 64. Conta a lenda que um grupo de rebeldes,

dentre eles Flávio Josefo, foi encurralado numa caverna pelo exército inimigo.

Preferindo o suicídio à captura, os rebeldes decidiram formar um círculo e, contando

ao longo deste, matar cada terceira pessoa restante do grupo. Josefo era contrário a

este pacto suicida e, por isso, juntamente com um amigo, calculou muito

rapidamente as posições adequadas que ambos deveriam tomar nesse círculo de

modo a saírem ilesos desta terrível situação. Para o entendimento desta solução

propomos, inicialmente, uma revisão sobre sequências numéricas, incluindo os

casos especiais de progressão aritmética e geométrica. Em seguida, introduzimos

algumas noções a respeito de relações de recorrência e do Princípio da Indução

Matemática, permitindo uma generalização dos conceitos e resultados já conhecidos

intuitivamente pelo grupo de alunos.

Palavras – chave: Problema de Flávio Josefo. Relações de Recorrência.

Princípio de Indução Matemática.

7

ABSTRACT

Dissertação de Mestrado

Departamento de Matemática

Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT

Universidade Federal de Santa Maria

AN APPROACH PROPOSAL OF FLAVIO JOSE`S

PROBLEM APPLIED TO HIGH SCHOOL

Authoress: Márcia Erondina Dias de Souza

Leader: Drª Luciane Gobbi Tonet

Santa Maria, April 15, 2013.

In this paper, we presents a didactic sequence of activities designed for a

group of students of high school, their age were about 15 and 18 years old, with the

main objective to study the problem proposed by the mathematician Flávio Josefo, in

mid-year 64. The legend tells that a group of rebels, including Flávio Josefo, was

trapped in a cave by the enemy army. Preferring the suicide to capture, the rebels

decided to form a circle and, counting over this, to kill each third person of the rest of

the group. Josefo was contrary of this suicide pact therefore, together with a friend,

calculated very quickly the appropriated positions that both should take in this circle

in order to get out of this terrible situation. To understand this solution, we propose, at

the first moment, a review about the numerical sequences, including the special

cases of arithmetic and geometric. Then, we introduce some notions about the de

recurrence relations and the Principle of Mathematical Induction, allowing a

generalization of concepts and results already known intuitively by the student group.

Key words: Josefo’s Problem. Recurrence relations. Principle of Mathematical

Induction.

8

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Resolução do problema I …............................................................... 21

Tabela 2 – Resolução do problema II ….............................................................. 21

Tabela 3 – Temperaturas máximas em Canoas …............................................... 24

Tabela 4 – Solução do problema de Flávio Josefo para valores pequenos …..... 42

Tabela 5 – Solução do problema de Josefo em blocos ….................................... 43

9

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Ilustração do caso n=3 …................................................................ 18

Figura 2 – Ilustração do caso n=4 …............................................................... 19

Figura 3 – Disposição dos soldados em fila…....................................................... 20

Figura 4 - Esquema para o problema das bactérias ............................................ 28

Figura 5 – Regiões no plano I …........................................................................... 40

Figura 6 – Regiões no plano II ….......................................................................... 40

10

LISTA DE ANEXOS

Anexo A – Primeiro encontro…....................................................................... 50

Anexo B – Segundo encontro …..................................................................... 51

Anexo C – Terceiro e quarto encontros …...................................................... 54

Anexo D – Quinto encontro …..................................................................….... 57

Anexo E – Sexto encontro …............................................................................ 58

Anexo F – Sétimo encontro …......................................................................... 59

Anexo G – Oitavo encontro …......................................................................... 60

11

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO …............................................................................. 12

2 O PROBLEMA DE FLÁVIO JOSEFO .............................................14

2.1 Contextualização histórica ….....................................................14

2.2 Entendendo o problema de Flávio Josefo …............................ 16

3 ABORDAGEM TEÓRICA …............................................................ 22

3.1 Segundo encontro ….................................................................. 23

3.1.1 Sequências …............................................................................ 24

3.1.2 Progressão Aritmética …............................................................ 25

3.2 Terceiro e quarto encontros …...................................................26

3.2.1 Progressão Geométrica …......................................................... 27

3.3 Quinto e sexto encontros …....................................................... 32

3.3.1 Relação de recorrência ….......................................................... 33

3.4 Sétimo e oitavo encontros …..................................................... 35

3.4.1 Indução Matemática …............................................................... 36

4 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLÁVIO JOSEFO …...............42

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ….........................................................47

REFERÊNCIAS ….............................................................................. 48

ANEXOS ............................................................................................ 49

12

1. INTRODUÇÃO

Neste trabalho de pesquisa elaboramos, aplicamos e analisamos uma

abordagem de conteúdos com alunos do segundo ano do Ensino Médio, dentre os

quais ousamos apresentar assuntos complexos como Relações de Recorrências e o

Princípio de Indução Matemática. Estes, por se tratarem de conteúdos matemáticos

abstratos e de difícil compreensão para os alunos, nos exigiu maior atenção e

cuidados em sua abordagem.

Para amenizar este problema, utilizamos o problema proposto por Flávio

Josefo como o enfoque motivador para elaborar a proposta didática

“Conta a lenda que Flávio Josefo, estava encurralado pelos romanos em

uma caverna, juntamente com 11 rebeldes judeus, durante uma guerra entre

judeus e romanos. O grupo de rebeldes, preferindo o suicídio à captura,

decidiu formar o círculo e, contando ao longo deste, matar cada terceira

pessoa restante até não sobrar ninguém. Contudo Josefo, junto com um

amigo, não queria participar do pacto suicida, e calculou rapidamente onde

ele o amigo deveriam ficar nesse círculo.” (Jesus, 2006, p.7)

Realizamos a prática pedagógica na Escola Estadual de Ensino Médio

Professora Margot Terezinha Noal Giacomazzi, situada em uma zona periférica no

município de Canoas, RS, com dez alunos com idades entre 15 a 18 anos. A escola

possui recursos de multimídia, salas de aulas amplas e conta com uma equipe

pedagógica completa e 57 professores.

A sequência didática desenvolvida com os alunos foi composta por nove

encontros, no primeiro apresentamos o problema a ser estudado e realizamos

diversas atividades práticas com o intuito de entender melhor o problema. No

capítulo 1, além de relatar as atividades desenvolvidas nesta primeira aula,

apresentamos brevemente a história de Flávio Josefo e algumas variações do

problema.

Do segundo ao oitavo encontro realizamos a abordagem teórica, ou seja,

13

estudamos os conteúdos necessários para a resolução do problema de Flávio

Josefo. Descrevemos detalhadamente cada encontro no capítulo 2 e, nos anexos,

disponibilizamos todo o material apresentado aos alunos. No segundo encontro

estudamos sequências e progressão aritmética. Nas duas aulas seguintes

abordamos progressão geométrica, com o objetivo de abordar a soma dos termos

de uma PG. Como os alunos dominavam o assunto, aproveitamos para demonstrar

as fórmulas que eles assumiam como verdade.

Já no quinto e no sexto encontro estudamos Relações de recorrência, para

abordar esse assunto utilizamos uma vídeo aula do professor Morgado1, com

explicação e exemplos de como resolver uma relação de recorrência. E para

encerrar a abordagem de conteúdos estudamos Indução Infinita, apresentamos um

exemplo lúdico e utilizamos como exemplo as fórmulas da soma dos termos de uma

PA e dos termos de uma PG. Os assuntos dos quatro últimos encontros é novidade

para os alunos, e pelo fato de serem conteúdos que exigem um grau de abstração

foi necessário muita cautela ao apresentá-los aos alunos.

No capítulo 3, apresentamos a solução do problema do Josefo, juntamente

com uma descrição da vivência dos alunos na nona aula. Finalizamos o trabalho,

com a análise da prática pedagógica, apontando a possibilidade de uma abordagem

no ensino médio que envolva Relações de recorrência e Indução Infinita.

1 Disponível em: http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2003

14

2. O PROBLEMA DE FLÁVIO JOSEFO

2.1 CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA

Flávio Josefo2 nasceu em Jerusalém, por volta do ano 37 d.C., e viveu até

100 d.C. Sua descendência de família real por parte de mãe e sacerdotal por parte

de pai oportunizou acesso a uma excelente educação enraizada nas culturas judaica

e grega, sendo considerado um dos maiores historiadores judeus de seu tempo. Na

sua grande maioria, suas obras foram escritas em grego e são de extrema

importância para o estudo das relações entre judeus e romanos durante o século I.

Em alguns momentos da história, seus escritos só perderam em popularidade para a

bíblia, pois traziam informações detalhadas da época em que o cristianismo dava

seus primeiros passos como cultura religiosa no mundo.

Desde muito cedo, Flávio Josefo se envolveu em questões religiosas da sua

época, dedicando boa parte de sua vida aos estudos sobre algumas seitas judaicas.

Com o passar do tempo Flávio tornou-se fariseu, participando ativamente de

questões de ordem política com ideais mais próximos do entendimento com Roma, o

que o colocava numa linha não tão extremista aos romanos. Isso acarretou-lhe

muitos embates com os zelotas3, grupo este que detinha maior poder de mobilização

junto aos líderes judeus. Desta forma, deu-se inicio a vários conflitos que, mais

tarde, trariam muitas consequências trágicas, dentre elas a própria destruição da

cidade de Jerusalém.

2 Em latim, ele era conhecido como Flavius Josephus. Após ser reconhecido como cidadão romano,

passou a ser chamado de Tito Flávio Josefo. Originalmente, seu nome judaico era Yosef ben

Matityahu, que significa José, filho de Matias.

3 Seita estabelecida por Judas que liderou uma revolta contra o domínio romano no ano 6 d.C., ao

rejeitar o pagamento de tributo pelos israelitas a um imperador pagão, sob a alegação de que tal ato

era uma traição contra Deus, o verdadeiro rei de Israel. A seita dos zelotas é referida por Flávio

Josefo como extremista e responsável pela incitação da revolta que conduziu à destruição de

Jerusalém.

15

Neste âmbito, convém ressaltar a participação de Flávio Josefo em uma

grande revolução defendendo militarmente a Judeia, muito embora fosse contrário

ao confronto direto com Roma. Seu notável desempenho lhe rendeu a nomeação de

chefe militar da região da Galileia, mesmo com a oposição ferrenha de alguns

líderes importantes da época. Em decorrência a uma destas batalhas vividas por

Josefo e seu grupo, surgiu um famoso episódio de sua biografia o qual, por não

constar em nenhuma literatura confiável, é considerado por muitos como lenda.

Este episódio retrata os acontecimentos ocorridos numa das batalhas travada

contra os romanos. Nesta ocasião, Josefo e mais quarenta companheiros ficaram

encurralados numa caverna. Muitos não admitiam a possibilidade de rendição por

significar uma grande desonra a seus ideais filosóficos e religiosos. Foi então que

Josefo incitou seus companheiros a um suicídio coletivo, no qual ninguém precisaria

efetivamente se matar. Ele propôs que todos se organizassem em círculo, de modo

que a vida de cada um dos rebeldes seria tirada pelo companheiro ao lado por

esganadura. Usando o seu rápido raciocínio matemático, Josefo se posicionou no

círculo de maneira estratégica para que não morresse. Como resultado, apenas

Josefo, juntamente com um colega, sobreviveram e ambos se entregaram aos

romanos. Obviamente, esse episódio da vida de Josefo fez com que os judeus o

considerassem um grande traidor.

Ao ser aprisionado pelos romanos, Josefo conquista a simpatia do

comandante das tropas romanas da época, chamado Vespasiano, ao prever que ele

seria o próximo imperador de Roma. Nesta época, Josefo tentou novamente

dissuadir seus antigos companheiros de enfrentarem o exército romano.

Fracassando em seu intento, ele assistiu, ao lado dos romanos, a mais uma derrota

humilhante dos judeus e a total destruição da cidade de Jerusalém. Em seguida,

Josefo ganha a proteção do exército romano tornando-se, inclusive, cidadão

romano.

Com o auxílio e assistência dados pelos Flavianos4, Flávio Josefo se torna um

homem muito rico. Ele comprou terras confiscadas na Judeia durante a guerra e

4 A dinastia flaviana ou dinastia dos Flávios, foi a segunda dinastia de imperadores do Império

Romano chegando ao poder com Vespasiano após uma grave crise que se estabeleceu no fim da

dinastia Julio-Claudiana com a morte do imperador Nero.

16

teve toda a tranquilidade para escrever alguns livros até hoje reconhecidos como

importantes fontes de informações históricas da época. Dentre suas principais obras,

citamos quatro livros:

• A Guerra Judaica – escrito em aramaico e, posteriormente em grego,

contendo mais detalhes sobre o cerco e tomada de Jerusalém;

• Antiguidades Judaicas – relato da história do povo judeu até a

derrocada na guerra contra os romanos;

• Contra Ápion – resposta às críticas antissemitas de Ápion, um erudito

grego que disseminava ideias contrárias a visão histórica dos judeus;

• Vida de Flávio Josefo – autobiografia contendo detalhes de sua vida

desconhecidas por outras fontes de informação da época.

2.2 ENTENDENDO O PROBLEMA DE FLÁVIO JOSEFO

Como já mencionamos no início deste capítulo, a sobrevivência de Josefo

dentre os quarenta companheiros originou um curioso problema muito conhecido e

difundido principalmente entre os matemáticos, o qual pode ser enunciado da

seguinte forma5:

“Flávio Josefo estava encurralado pelos romanos em uma caverna,

juntamente com 40 rebeldes judeus, durante uma guerra entre judeus e romanos. O

grupo de rebeldes, preferindo o suicídio à captura, decidiu formar um círculo e,

contando ao longo deste, matar cada terceira pessoa restante até não sobrar

ninguém. Contudo Josefo, junto com um amigo, não queria participar do pacto

suicida, e calculou rapidamente onde ele o amigo deveriam ficar nesse círculo.”

Outras variações deste problema são comuns na literatura, sendo que a

5 Na literatura disponível sobre o assunto, podemos encontrar diversos enunciados para este

problema, todos eles equivalentes matematicamente. Em especial, o que citamos neste trabalho pode

ser encontrado em http://www.calendario.cnt.br/Paginas/Josefo.htm – acesso em 12/02/2013.

17

principal diferença entre elas se encontra basicamente no número de pessoas

encurraladas na caverna. A seguir, apresentamos uma interessante variação deste

problema aplicado à ciência da computação, onde programadores resolvem o dilema

através de algoritmos criados em uma linguagem de programação adequada6:

“Um grupo de soldados está cercado por uma força inimiga esmagadora. Não

há esperança de vitória sem a chegada de reforços. No entanto, existe somente um

cavalo disponível para escapar e buscar reforço, e os soldados precisam entrar num

acordo para determinar qual deles deverá escapar e trazer ajuda. Eles formaram um

círculo e um número N é sorteado num chapéu. Um de seus nomes também é

sorteado, e é pelo nome deste soldado sorteado que eles começam a contar ao

longo do círculo em sentido horário. Quando a contagem alcança o número sorteado

N, esse soldado é retirado do círculo, e a contagem reinicia com o soldado seguinte.

O processo continua de maneira que, toda a vez que N é atingido, outro soldado sai

do círculo. Todo soldado retirado não entra mais no círculo. Irá buscar ajuda o

soldado que sobrar no círculo.”

Não é difícil perceber a equivalência entre os enunciados acima destacados

para o problema de Josefo. Mais geralmente, este problema pode ser enunciado da

seguinte maneira:

“Decide-se eliminar n−1 pessoas de um grupo de n

pessoas da seguinte forma:

(i) as pessoas são colocadas em um círculo com lugares marcados

em ordem crescente no sentido horário, (1, 2, 3, …, n),

(ii) este círculo é percorrido no sentido horário tantas vezes quanto

necessário, começando com a pessoa no lugar 1, e toda segunda pessoa

viva nesta visitação é eliminada até que só uma sobreviva.

Qual a posição que a sobrevivente ocupa?” (Santos, 2007, p.234)

6 Maiores informações acerca desta variação ao problema de Flávio Josefo podem ser acessadas no

site: http://forum.clubedohardware.com.br/problema-josephus/593331?

s=89d541fd50d85d0e414fc79faf9085ba&s=8bef7c5a9083dc6ea8f2a28fd79b44bd& -

acesso em 06/03/2013.

18

Para nossa prática pedagógica, iniciamos o estudo deste problema dispondo

os alunos em um círculo, conforme a situação proposta por Josefo. Analisamos, em

grupo, a posição do soldado sobrevivente para diferentes números de soldados no

círculo. Consideramos o caso m=2 , isto é, cada segunda pessoa a partir do

ponto inicial da contagem deverá sair do círculo, sempre em sentido horário.

Claramente, se tivermos apenas um soldado encurralado, este será o único

sobrevivente.

Consideremos o caso n=2 , no qual o círculo contém os soldados S1 e

S 2 . Começando a contagem por S1 , em sentido horário, podemos perceber

que o soldado S 2 será eliminado do círculo. Neste caso, o sobrevivente será o

próprio soldado S 1 .

Para n=3 , será necessário percorrer o círculo duas vezes. Na primeira

rodada será eliminado o soldado S 2 . Começando novamente a contagem em

S3 , observamos que será eliminado o soldado S 1 . Neste caso, sobreviverá o

soldado S3 . Abaixo, apresentamos uma figura que ilustra a situação exposta

neste caso.

S1 S2

S3

Início da contagem Primeira pessoa a

ser eliminada

Recomeço da contagem e consequente

eliminação do soldado S1

Figura 1: Ilustração do caso n = 3

19

Para n=4 , ao percorrer o círculo pela primeira vez, eliminamos os

soldados S 2 e S 4 , conforme ilustra a figura abaixo. Na segunda rodada,

reiniciamos a contagem no soldado S 1 , com a consequente eliminação do

soldado S3 . Para este caso, temos que S 1 será o soldado sobrevivente.

Repetimos este procedimento para os casos em que o círculo contém cinco e

seis soldados, nos quais sobrevivem S 1 e S 5 , respectivamente. Neste

momento, constatamos que, para m=2 , na primeira rodada serão eliminados os

soldados nas posições pares, denotados por S 2k , o que nos levou a concluir que a

posição do soldado sobrevivente será ímpar. Além disso, se o número n de

soldados no círculo é par, então a segunda rodada inicia no soldado S 1 , sendo

que essa rodada conterá exatamente a metade dos soldados da formação inicial.

Caso contrário, se n for um número ímpar, os alunos conjecturaram que a

segunda rodada inicia no soldado S n . Neste caso, a quantidade de soldados

restantes para a segunda rodada é a metade dos soldados da formação inicial mais

um. Podemos sintetizar isso da seguinte forma:

S1

S2

Início da contagem

S3 Recomeço da contagem

S4

Primeira pessoa a

ser eliminada

Segunda pessoa a

ser eliminada

Figura 2: Ilustração do caso n = 4

20

• para n=2k , na segunda rodada restam k soldados;

• para n=2k+1 , na segunda rodada restam k+1 soldados.

Baseados neste estudo, os alunos perceberam que, para a segunda rodada,

nós recaímos no mesmo problema inicial, apenas com um número reduzido de

soldados. Além disso, após uma breve familiarização com o problema, alguns alunos

preferiram organizar os soldados em uma fila, conforme mostra na figura abaixo.

Isso ilustra o entendimento do problema e nos dá segurança para avançarmos na

sua solução.

Figura 3: Disposição dos soldados em fila.

Neste exemplo, o aluno resolveu o problema com 12 soldados, dentre os

quais sobrevive o soldado na posição nove. A seguir, apresentamos uma tabela

elaborada por uma dupla de alunos, onde foram marcados os soldados eliminados

em cada rodada. Nestas tabelas, analisamos também o caso m=3 , isto é, a

terceira pessoa a partir do ponto inicial da contagem deverá sair do círculo, sempre

em sentido horário.

21

m=2

volta

volta

volta

volta

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9

10 X

11 X

12 X

Tabela1: Resolução do problema I

m=3

volta

volta

volta

volta

1 X

2 X

3 X

4 X

5

6 X

7 X

8 X

9 X

10

11 X

12 X

Tabela 2: Resolução do problema II

Assim, no caso em que m=3 e o círculo contém 12 soldados, para garantir

sua sobrevivência, Josefo deveria se posicionar como soldado S 5 ou S 10 . De

fato, observamos que, para a quinta rodada, iniciando a contagem em S 5 , este

deveria cometer suicídio, o que era contra o pacto.

Todas estas atividades permitiram aos alunos uma grande familiarização com

o problema e a elaboração de muitas conjecturas úteis para sua futura resolução.

Além disso, nossa intenção com esta prática pedagógica é proporcionar a

abordagem de conceitos matemáticos mais abstratos como relações de

recorrências e indução matemática, dando aos alunos uma visão mais ampla da

matemática básica estudada na escola. Em função disso, estudar uma versão mais

geral deste problema poderia se tornar um empecilho. Para facilitar a retomada e

entendimento dos conceitos necessários para a resolução do problema proposto por

Flávio Josefo, optamos pelo estudo do caso m=2 e n=12 .

22

3. ABORDAGEM TEÓRICA

Neste capítulo, abordaremos o estudo dos conceitos matemáticos

necessários para a resolução do problema proposto por Flávio Josefo. Com este

propósito, elaboramos uma sequência didática de atividades destinadas para um

grupo de dez alunos voluntários, com idades entre 15 e 18 anos, da Escola Estadual

de Ensino Médio Professora Margot Terezinha Noal Giacomazzi, no município de

Canoas, RS.

Nosso principal objetivo, para cada encontro proposto, é fornecer meios para

que os alunos se apropriem de um formalismo matemático adequado, mesmo que

ainda de maneira muito primitiva. Isso vem de acordo com as ideias de (Giraldo,

2013, p. 4) que afirma “que a escola tem um papel tão importante quanto a

academia na própria produção do conhecimento: criar condições para que o novo

conhecimento superior seja estabelecido”.

Ao todo, realizamos nove encontros presenciais nos quais abordamos o

estudo de Sequências, em especial das Progressões Aritmética e Geométrica, além

das Relações de Recorrências e, finalmente, o Princípio de Indução Matemática.

Em cada um destes tópicos, procuramos fazer com que os alunos

compreendessem a ideia de infinito e que, intuitivamente, capturassem a essência

do Princípio da Indução Matemática. Compreender o processo de Indução

Matemática no Ensino Médio se torna necessário na medida em que introduz na

vida do aluno problemas acerca do infinito. Conforme afirma o Professor Abramo

“é com o conceito de indução que se estabelece o primeiro contato com a

noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é

ao mesmo tempo, sutil e delicado.” (Abramo, 2009, p. iii)

23

A recursividade também nos permite trabalhar com este tipo de problema,

muito embora seja outro tema pouco comum nos currículos de matemática do

Ensino Médio. Segundo Morgado,

“É necessário valorizar os raciocínios recursivos pois hoje, com a revolução

da tecnologia, é extremamente importante saber raciocinar recursivamente.

Mas este é um assunto que exige dos alunos um raciocínio mais elaborado,

sendo um tanto abstrato.” (Morgado, 2003)

Em função das dificuldades resultantes da abordagem destes conteúdos um

tanto abstratos, fez-se importante a elaboração de uma prática pedagógica

adequada, capaz de tornar o aluno apto a compreender todos os conceitos e

propriedades envolvidas no processo. A partir deste momento, passaremos a

destacar todas as atividades desenvolvidas, bem como as dúvidas elencadas pelos

discentes em todo o processo.

No primeiro encontro, formalizamos uma parceria entre alunos e professor na

qual combinamos como seria o desenvolvimento desta pesquisa. Além disso,

estudamos alguns casos particulares do problema de Josefo conforme já relatado na

seção 1.2.

3.1 SEGUNDO ENCONTRO

Este segundo encontro foi dedicado ao estudo das Sequências Numéricas e,

em particular, da Progressão Aritmética. Introduzimos a definição de sequências

para, posteriormente, estudar seus casos especiais na forma das progressões

aritmética e geométrica.

24

Para o estudo das Progressões Aritméticas, damos uma atenção especial à

fórmula da soma de n termos de uma PA, já introduzindo a demonstração das

fórmulas previamente estudadas em aula.

3.1.1 Sequências

Começamos nosso segundo encontro com o estudo das sequências

numéricas. Iniciamos as atividades com algo mais simples, para nos próximos

assuntos evoluirmos o grau de complexidade e, posteriormente, realizarmos

demonstrações matemáticas.

Nesta oportunidade, definimos sequência como uma sucessão de elementos,

ou seja, um encadeamento de fatos que se sucedem. Nesse sentido, citamos

exemplos que permitissem observar como as sequências são comuns em nosso dia

a dia, conforme podemos notar a seguir:

Exemplo Inicial: Imagine que uma pessoa da cidade de Canoas tenha anotado as

temperaturas máximas em um período do mês de novembro de 2011. O resultado

pode ser visto na seguinte tabela:

Dia 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ºC 29 30 31 33 34 34 34 25 23

Tabela 3: Temperaturas máximas em Canoas – (dados hipotéticos)

Estes dados coletados quanto à temperatura em Canoas formam um conjunto

com os elementos dispostos numa determinada ordem, o qual denominamos

sequência. Matematicamente, quando temos uma sequência numérica qualquer,

representamos o seu primeiro termo por a1 , seu segundo termo por a2 e

25

assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo representado por an . No exemplo

proposto inicialmente, identificamos a1=29 , a2=30 e a9=23 . Neste caso,

concluímos que n=9 representa o número total de elementos presentes na

sequência.

3.1.2 Progressão Aritmética

Neste mesmo encontro, abordamos o conceito de progressão aritmética (PA).

Salientamos que uma progressão aritmética é, na verdade, uma sequência numérica

que obedece a algumas propriedades específicas. Isso não se tornou uma tarefa

muito difícil na medida em que os alunos já haviam estudado este assunto em sala

de aula. Em função disso, trabalhamos este conceito sob um novo ponto de vista, de

maneira que os alunos pudessem deduzir algumas propriedades interessantes

inerentes a este tipo de progressão.

Inicialmente, definimos uma progressão aritmética como uma sequência na

qual, dado um termo, obtemos o termo seguinte acrescentando uma quantidade fixa.

A partir da definição, percebemos que an=an−1+r e, com isso, concluímos que

a2=a1+r

a3=a2+r=a1+r+r=a1+2r

a4=a3+r=a1+2r+r=a1+3r

Desta forma, foi possível conjecturar que o termo geral de uma progressão

satisfaz

an=a1+(n−1)r.

Em seguida, estudamos a soma dos termos de uma progressão aritmética

finita. Para tal, abordamos o mesmo raciocínio desenvolvido por Carl Friedrich

Gauss no ano de 1787, aos 10 anos de idade7. Na oportunidade, Gauss frequentava

o terceiro ano do ensino fundamental quando, na aula de Aritmética, o professor

7 Maiores detalhes acerca deste assunto podem ser acessados no endereço:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat3_1_1.pdf (último acesso: 06/02/2013)

26

pediu aos alunos que calculassem o valor da soma

S=1+2+3+....+98+99+100.

Gauss, muito prontamente, escreveu o número 5050, impressionando a todos

pela rapidez e inteligência.

Neste momento, explicamos aos alunos o que Gauss havia observado.

Basicamente, como

S=1+2+3+....+98+99+100

S=100+99+98+....+3+2+1

representam a mesma soma então,

2S=101+101+101+…+101+101+101

é uma soma com 100 parcelas. Ou seja, 2S=101 x 100 , donde segue que

S=5050 .

Com base no raciocínio desenvolvido por Gauss, pedimos que os alunos

determinassem a soma de sete termos em progressão aritmética. Neste caso,

obtivemos que S=

(a1+a7)7

2

. Isso permitiu com que os alunos conjecturassem

que a soma dos n termos de uma progressão aritmética satisfaz

S=

(a1+an)n

2

.

Neste momento de nossa prática, apenas aceitamos esta conjectura,

deixando a demonstração de sua validade para a aula sobre o Princípio de Indução

Matemática.

3.2 TERCEIRO E QUARTO ENCONTROS

Para estes encontros, abordamos a definição de progressão geométrica, com

os principais objetivos de

27

– entender o processo de construção de uma progressão geométrica;

– diferenciar progressões geométricas das progressões aritméticas;

– estabelecer a fórmula da soma dos termos de uma progressão

geométrica finita;

– ressaltar sob que condições podemos obter a soma de uma

progressão geométrica infinita.

Os alunos já haviam estudado esse assunto com o professor em sala de aula,

o que nos possibilitou dar um enfoque de revisão para certas definições. Em

contrapartida, esta familiaridade com o assunto nos permitiu abordar certos

resultados de uma maneira mais formal.

3.2.1 Progressão geométrica

Iniciamos este encontro com uma breve revisão do conceito de Progressão

Geométrica (PG). Ressaltamos que uma PG é uma sequência numérica em que

cada termo tem uma relação especial com o anterior, exatamente como ocorre com

os termos de uma PA. Neste caso, qualquer termo posterior é igual ao termo anterior

multiplicado por um valor fixo q . Com base na definição, os alunos concluíram

que os termos de uma progressão geométrica satisfazem

a2=a1q

a3=a2q

a4=a3 q

a5=a4 q

.

Ou seja, an=qan−1 .

Através da observação do comportamento destes termos, questionamos os

alunos sobre a possibilidade de determinar a5 sem conhecermos os termos

anteriores. De fato, para determinar a5 , precisamos conhecer a4,a3,a2 . Isso se

torna um problema para a determinação de termos muito grandes numa PG. Por um

28

raciocínio semelhante ao desenvolvido no estudo das PA, concluímos que

a3=a2 q=a1 qq=a1 q2

Analogamente, substituindo a3=a1 q2 na equação que determina o valor de

a4 , obtemos

a4=a3 q=a1 q2 q=a1q3 .

Isso nos permitiu generalizar este comportamento, conjecturando que o termo

geral de uma progressão geométrica satisfaz

an=a1qn−1 .

Neste momento de nossa prática, apenas aceitamos esta conjectura,

deixando a demonstração de sua validade para a aula sobre o Princípio de Indução

Matemática. Uma vez de posse desta fórmula, partimos para o estudo de um

exemplo de aplicação. Apresentamos uma situação problema sobre reprodução de

bactérias, que para os alunos foi um desafio.

Exemplo: Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um

exemplo é a bactéria que causa a sífilis (chamada treponema pallidum) cada uma

delas se transforma em 8 iguais no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo

começa a se reproduzir, quantas elas serão 12 horas depois, supondo que nenhuma

delas tenha morrido?

Iniciamos a resolução deste problema elaborando um pequeno esquema no

qual os alunos pudessem identificar a1 e a razão q .

Figura 4: Esquema para o problema das bactérias

29

A partir deste esquema concluímos que o primeiro termo desta PG é a1=1

e a razão é q=8 . Com isso, podemos calcular a quantidade de bactérias após 12

horas utilizando an=a1qn−1 .

Fazendo os cálculos, obtemos que a12=1 x811=8589934592 .

Esse tipo de exercício desestabilizou os alunos na medida em que saiu do

padrão dos exercícios estudados normalmente, exigindo inclusive uma leitura

minuciosa para que fosse possível identificar a1 e a razão q .

Num segundo momento, abordamos o estudo da soma dos termos de uma

progressão geométrica. Iniciamos este tópico com o seguinte exemplo:

Exemplo: Qual é a soma dos 12 primeiros termos da PG (7, 14, 28, 56,112, 224,

448, 896, 1792, 3584, 7168, 14336)?

Naturalmente, os alunos somaram todas as parcelas e obtiveram o resultado

correto. Neste momento, nos questionamos sobre o que deveria ser feito se a

progressão geométrica tivesse 30 termos ou mais. Ou seja, existe alguma maneira

simples para determinar a soma dos termos de uma progressão geométrica?

Para responder a esta pergunta, consideramos uma progressão geométrica

(an) qualquer. Observamos que

S n=a1+a2+a3+...+an (1)

representa a soma dos n primeiros termos desta progressão. Neste momento, foi

conveniente conversamos sobre o significado dos três pontos que escrevemos em

(1), ressaltando que essa soma tem n parcelas.

Multiplicando ambos os membros da igualdade em (1) por q obtemos:

qSn=qa1+qa2+qa3+...+qan

Como an=an−1 q , então

qS n=a2+a3+a4+...+an+an+1 (2)

30

Comparamos as igualdades (1) e (2), termo a termo. Isso nos permitiu

concluir que a subtração destas igualdades satisfaz

S n−qS n=a1−an+1 (3)

Colocando o fator S n em evidência na igualdade (3), obtemos

S n(1−q)=a1−an+1 .

Como an+1=a1 qn , então

S n(1−q)=a1−a1 qn

e, com isso, S n(1−q)=a1(1−qn) . Portanto,

Sn=a1

(1−qn)

(1−q)

representa a soma dos n primeiros termos desta progressão geométrica.

Neste momento, os alunos puderam comparar nossos estudos com os

conhecimentos prévios sobre o assunto adquiridos em sala de aula. Alguns se

perguntaram sobre a semelhança desta fórmula com a obtida em aula:

Sn=a1

(qn−1)

(q−1)

Mostramos, na verdade, que se tratava da mesma equação apenas

observando que esta nova fórmula é obtida se multiplicarmos o divisor e o quociente

por (-1). E ainda podemos obter esta fórmula na demonstração fazendo (2) – (1) e

portanto isso mostra que não importa qual a subtração que escolhemos, o resultado

será o mesmo.

Encerramos nosso estudo sobre progressões geométricas abordando o

comportamento da soma no caso em que temos infinitas parcelas. Inicialmente, para

uma progressão crescente, retomamos a PG (7, 14, 28, 56,112, 224, 448, 896,

1792, 3584, 7168, 14336) e acrescentamos novos termos. A cada nova parcela, a

soma aumentava consideravelmente. Facilmente os alunos constataram que seria

impossível determinar esta soma a medida em que as parcelas aumentassem muito.

No que segue, analisamos o que acontece com esta soma para progressões

decrescentes.

31

Exemplo: Determine a soma da PG (32

,34

,38

, 3

16

, 3

32

, 3

64

, 3

128

, ...) .

Inicialmente, verificamos que

32

+34

=2,25

32

+34

+38

=21

8 =2,625

32

+34

+38

+ 3

16=45

16=2,8125

32

+34

+38

+ 3

16+ 3

32=93

32=2,90625

32

+34

+38

+ 3

16+ 3

32+ 3

64=189

64 =2,953125

32

+34

+38

+ 3

16+ 3

32+ 3

64+ 3

128=381

128=2,976525

32

+34

+38

+ 3

16+ 3

32+ 3

64+ 3

128+ 3

256=765

256=2,98828125

A partir destes cálculos, percebemos que a soma dos termos da PG está se

aproximando de 3. Neste momento, observamos que cada nova parcela que

adicionamos na soma tem valor menor e nos questionamos sobre o que estava

influenciando esse comportamento. Concluímos que a razão q<1 para esta PG

era o fator causador deste resultado.

Discutimos com o grupo sobre o comportamento de potências de números

entre zero e um, o que nos levou a introdução de noções básicas acerca do limite de

uma sequência.

Analisando alguns valores das potências de

12

temos que:

32

(1

2 )

2

=14

=0,25

(12

)

5

= 1

32=0,03125

(12

)

8

= 1

256=0,00390625

(12

)

15

= 1

32768=0,0000305175

Questionamos os alunos sobre o comportamento desta sequência para

potências cada vez maiores. Com o auxílio de uma calculadora, concluímos que

estas frações diminuem a medida que o expoente aumenta. Ou seja, quando a

razão da progressão geométrica é um número 0<q<1 e o número de termos da

progressão é grande, teremos que qn tende a zero. Consequentemente, torna-se

possível obter a soma de uma progressão geométrica de infinitos termos e razão

0<q<1 através da fórmula

S n=

a1

(1−q)

Nesta etapa de nossas atividades, a abordagem dos conteúdos passou a ter

um caráter matemático mais formal, o que deixou os alunos intrigados pela maneira

com a qual confirmamos a validade de cada resultado a partir de um simples

exemplo. Isto é, alguns alunos passaram a questionar a validade de certas

propriedades matemáticas, haja visto que elas apenas lhes foram transmitidas, sem

jamais terem sido justificadas ou demonstradas.

3.3 QUINTO E SEXTO ENCONTROS

Nos dois encontros seguintes, abordamos o conceito de relação de

recorrência. Num primeiro momento, procuramos compreender o que é uma relação

de recorrência passando, em seguida, para o estudo da resolução das mesmas.

Desenvolvemos nossa prática pedagógica de tal forma que os alunos pudessem

compreender que as progressões aritmética e geométrica são exemplos de relações

33

de recorrência.

3.3.1 Relação de recorrência

Iniciamos nosso estudo das relações de recorrência através de uma atividade

prática, na qual os alunos construíram uma relação de recorrência da seguinte

forma:

Exemplo inicial: Escolha a1 e a2 números naturais menores do que 10. Em

seguida, construa uma relação de recorrência cujo termo posterior é a soma dos

dois termos anteriores.

Uma dupla de alunos escolheu os números a1=3 e a2=7 . Em seguida,

obtivemos a seguinte sequência de termos:

a3=a1+a2=3+7=10

a4=a2+a3=7+10=17

a5=a3+a4=10+17=27

Percebemos que, para encontramos a10 deveríamos conhecer a8 e a9

. Mais geralmente, os alunos observaram que, para determinar an é necessário

conhecer an−1 e an−2 . Definimos aqui a primeira relação de recorrência:

a1=3

a2=7

an=an−1+an−2

A partir desta atividade, os alunos puderam não só construir uma relação de

recorrência, como também entender a definição destas relações. Em seguida,

assistimos a uma aula8 do professor Augusto César Morgado, com explicação e

exemplos de como resolver uma relação de recorrência. Em alguns momentos foi

necessário interromper o vídeo, a fim de explicar com maior teor de detalhes o

conteúdo que estava sendo abordado.

No segundo encontro destinado ao estudo das relações de recorrência,

definimos formalmente o que é uma relação de recorrência. Também propomos um

desafio, conforme ilustrado a seguir:

8 Disponível em: http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2003

34

Desafio: Quantas são as sequências de n termos todos iguais a 0 ou 1, que

possuem um número ímpar de termos iguais a 0?

Para solucionar este desafio, elaboramos um esquema a fim de perceber o

comportamento de n para valores relativamente pequenos e só então conjecturar

como seria seu comportamento para valores consideravelmente grandes.

Temos apenas duas sequências com n=1 termo, dadas por

01

Neste caso, temos apenas uma sequência com um número ímpar de termos

iguais a zero. Por outro lado, temos quatro sequências com n=2 termos,

representadas por

00

01

10

11

Aqui, temos duas sequências com número ímpar de zeros.

Para n=3 teremos oito sequências,

000

001

010

011

100

101

110

111

obtendo somente quatro sequências com um número ímpar de zeros.

A cada novo dígito inserido, percebemos que o número de sequências dobra.

Após analisarmos muitos outros casos, conjecturamos que o número total de

sequências é 2n e o número total de sequências com número ímpar de zeros é

2(n−1) . Frisamos aos alunos o fato de ser apenas uma conjectura e que, nos

encontros seguintes, verificaríamos se essa resposta funciona para todos os casos.

Finalizamos nosso estudo sobre relações de recorrência abordando suas

formas de resolução. Continuamos assistindo ao vídeo do Professor Morgado, onde

ele explica de maneira didática como encontrar a solução de relações de recorrência

de primeira e segunda ordem.

35

Como última atividade, propomos a resolução da relação de recorrência

An+2−5An+1+6An=0 . Para isso, assistimos a um vídeo9 do professor Morgado

sobre este assunto e, a cada passo da resolução explanada por ele, interrompíamos

o vídeo e aplicávamos suas explicações ao nosso problema. Inicialmente, os alunos

escreveram a equação característica x2−5x+6=0 desta relação, determinando

suas raízes x=2 e x=3 .

Explicamos aos alunos que, em função destas raízes, a solução da relação de

recorrência é da forma an=C1 2n+C23n . Os valores para C1 e C2 somente

serão determinados caso o problema nos forneça alguns dados adicionais,

denominados condições iniciais.

A abordagem de um assunto com um grau de complexidade maior, numa

turma de alunos do Ensino Médio, nos exigiu uma atenção especial. Durante a

exibição do vídeo, fizemos várias interrupções para retomar as explicações do

professor Morgado. Abordar esse assunto com os alunos é possível e de extrema

importância neste nível de ensino, pois o raciocínio recursivo é muito utilizado na

prática. Destacamos, por exemplo, que a recursividade é de uso frequente na

informática, uma área que os alunos tem contato diariamente. Ao saberem disso, a

turma demonstrou maior interesse e uma curiosidade aguçada sobre o assunto.

3.4 SÉTIMO E OITAVO ENCONTROS

Em nossos próximos encontros, abordamos o Princípio de Indução Infinita.

Conforme afirma o professor Abramo (2009), esse assunto “é um tanto sutil e

delicado”. Portanto, torna-se necessário utilizar uma linguagem simples e até

figurativa, usando variados exemplos para auxiliar na compreensão deste importante

princípio matemático.

9 http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2003

36

3.4.1 Indução Infinita

Para iniciar a aula, apresentamos aos alunos a seguinte situação problema:

Exemplo inicial: Se enfileirarmos as peças de um jogo de dominó, o que ocorre se

empurramos a primeira peça dessa fila?

A resposta foi unânime: todas as peças do dominó cairão. Ou seja, o

comportamento do conjunto de peças é totalmente previsível, mesmo tendo muitas

peças enfileiradas. Todos concordamos que, se um conjunto de peças for derrubado,

a próxima peça na fila também cairá.

Em seguida, abordamos outro exemplo, conhecido por indução galinácea e

criado pelo filósofo Bertrand Russel (1872 – 1970):

“Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Diariamente, ao

entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas. No primeiro dia, a

galinha, desconfiada, esperou que a senhora se retirasse para se alimentar.

No segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se alimentando enquanto a

senhora se retirava. No nonagésimo dia, a galinha, cheia de intimidade, já

não fazia caso da velha senhora. No centésimo dia, ao se aproximar a

senhora, a galinha, por indução foi ao encontro dela para reclamar o seu

milho. Qual não foi a sua surpresa quando a senhora pegou-a pelo pescoço

com a intenção de pô-la na panela.” ( Hefez, 2009, p. 8 )

Com esses dois exemplos lúdicos, os alunos puderam ter uma breve noção

do que iríamos começar a estudar. Isto é, uma vez conhecido o comportamento de

uma propriedade para um certo número de casos, podemos conjecturar que a

mesma valerá para qualquer outro caso.

Basicamente, os dois exemplos anteriores retratam o Princípio de Indução

Matemática, cujo enunciado formal é dado a seguir:

37

Princípio da Indução Matemática: Considere n0 um inteiro não negativo.

Suponhamos que, para cada inteiro n⩾n0 , seja dada um proposição p (n) .

Suponha que se pode verificar as seguintes propriedades:

(a) p (n0) é verdadeira;

(b) se p (n) é verdadeira então p (n+1) também é verdadeira, para todo

n⩾n0 .

Então p (n) é verdadeira para qualquer n⩾n0 .

Propomos a realização de alguns exercícios para consolidar esse

conhecimento adquirido. Iniciamos com a demonstração da fórmula da soma dos

n primeiros números naturais.

Exemplo inicial: Determinar a soma dos n primeiros números naturais.

Para resolver este exemplo, inicialmente relembramos que

S=

(a1+an)n

2

representa a soma dos termos de uma progressão aritmética. Para a soma dos n

primeiros números naturais, teremos

S=

(1+n)n

2

. (1)

Verificamos que esta igualdade é verdadeira para n=1 . Em seguida, por

hipótese de indução, assumimos que a igualdade em (1) é verdadeira para algum

número natural n . Em seguida, observamos que a soma dos n+1 primeiros

números naturais satisfaz

38

S=

(1+n)n

2 +(n+1)

S=(n+n2)

2 +[2(n+1)]

2

S=n2+3n+1

2

donde segue que S=

(n+2)(n+1)

2 . Observamos que esta última igualdade obtida

segue de (1), ao substituirmos n por n+1 . Ou seja, provamos que a igualdade

em (1) também é verdadeira para n+1 . Portanto, pelo Princípio de Indução

Matemática, provamos que a soma dos n primeiros números naturais satisfaz

S=

(1+n)n

2

para todo número natural n .

Como exercício, verificamos a validade da fórmula para a soma de n

termos de uma progressão geométrica. Os alunos contribuíram para a solução do

exercício e, principalmente, mostraram ter compreendido a demonstração por

Indução Matemática.

Uma vez entendido este princípio, provamos a veracidade de outras fórmulas

matemáticas. Neste momento, iniciamos uma nova etapa de nossos estudos através

da análise determinadas situações problemas. Em particular, procuramos por uma

forma fechada para a resolução das relações de recorrência, isto é, precisamos

determinar uma fórmula para an que independa dos termos anteriores. Para isso,

aplicamos o exemplo a seguir:

Exemplo: É possível determinar a soma dos n primeiros números ímpares?

Seja P(n) a soma dos n primeiros números ímpares. Em particular,

temos que

P(1)=1 .

P(2)=1+3=4

39

P(3)=1+3+5=9

P(4)=1+3+5+7=16

P(5)=1+3+5+7+9=25

Desta listagem, os próprios alunos conjecturaram que a soma dos n

primeiros números ímpares satisfaz

P(n)=1+3+5+...+2n−1=n2 .

No que segue, vamos validar essa conjectura utilizando o Princípio de

Indução Matemática. Já verificamos que P(1)=1=12 . Por hipótese de indução,

suponhamos que P(n)=n2 seja verdadeira, para algum número natural n .

Vamos verificar se esta igualdade é verdadeira para n+1 ; ou seja, mostraremos

que P(n+1)=(n+1)2 .

Por hipótese de indução,

P(n)=1+3+5+...+2n−1=n2

Logo,

P(n+1)=P(n)+2n+1

P(n+1)=1+3+5+...+2n−1+2n+1

P(n+1)=n2+2n+1

P(n+1)=(n+1)2

e, portanto, pelo Princípio de Indução Matemática, provamos que a soma dos n

primeiros números ímpares satisfaz P(n)=n2 .

Basicamente, através destes exemplos, percorremos todos os processos

estudados até o momento. Ou seja, conjecturamos uma possível solução,

verificamos a validade dessa solução e, por último, encontramos uma forma

fechada como solução do problema. A necessidade de encontrar essa fórmula

fechada surge do fato de que, para calcularmos o valor de an , precisamos

conhecer an−1 , o que não se torna prático para n muito grande. É conveniente

encontrar uma fórmula com a qual podemos determinar qualquer valor da

sequência, sem precisarmos dos termos anteriores.

Para finalizar o estudo deste assunto resolvemos o seguinte exercício:

40

Exercício: Qual é o número máximo de regiões definidas por n retas no plano?

Iniciamos a resolução deste exercícios apresentando um esquema, conforme

ilustram as figuras abaixo.

Figura 5: Regiões no plano I

Figura 6: Regiões no plano II

Chamamo de Ln o número de regiões formadas no plano, através deste

esquema, conjecturamos que Ln=Ln−1+n e L0=1 .

Para o que segue, encontramos a forma fechada para este problema.

Começamos reescrevendo Ln :

41

Ln=Ln−1+n

Ln=Ln−2+(n−1)+n

Ln=Ln−3+(n−2)+(n−1)+n

Ln=Ln−4+(n−3)+(n−2)+(n−1)+n

Ln=L0+1+2+3+4+...+(n−3)+(n−2)+(n−1)+n

Ou seja, Ln é a soma dos n primeiros números naturais e, portanto,

satisfaz

Ln=

(1+n)n

2 +1

Para concluir precisamos provar, por indução, a veracidade desta forma. Se

n=0 , então L0=

(1+0)0

2 +1=1 .

Por hipótese de indução, suponhamos que Ln=

(1+n)n

2 +1 seja válida para

algum número natural n . Mostraremos que a mesma é verdadeira para n+1

retas. Observamos que

Ln+1=Ln+n=(

(1+n)n

2 +1)+(n+1)=

(n+1)(n+2)

2 +(n+1).

e, portanto, Ln=

(1+n)n

2 +1 , para todo n⩾0 .

Toda essa bagagem de conteúdos desenvolvida com os alunos serviu de

base para que, no último encontro, pudéssemos solucionar o problema de Flávio

Josefo.

42

4. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLÁVIO JOSEFO

Dedicaremos este capítulo à resolução do problema proposto por Flávio

Josefo. Nosso objetivo é formalizar todas as observações e conjecturas feitas no

primeiro encontro e já destacadas na seção 2.2. Na oportunidade, realizamos um

estudo de casos mais simples deste problema, no qual os alunos puderam observar

que

• para n=2k , na segunda rodada restam k soldados;

• para n=2k+1 , na segunda rodada restam k+1 soldados

onde n é o número de soldados do grupo e m=2 , isto é, cada segunda pessoa

no círculo será eliminada. Além disso, os alunos perceberam que, para a segunda

rodada, o problema se torna equivalente ao inicial, apenas apresentando um número

reduzido de soldados.

Para o caso , a m=2 resolução do problema de Josefo consiste,

basicamente, em determinar a posição do soldado sobrevivente no círculo. Para isto,

vamos enumerar cada soldado no círculo com os números de 1 a 12, em sentido

horário. Vamos denotar por S (n) o número do soldado sobrevivente.

Recordamos que, se n=1 soldado, então S (1)=1 representa a posição

do soldado sobrevivente. Por outro lado, se n=2 soldados, então o soldado de

número 2 será eliminado e, portanto, S (2)=1 . Também observamos que, se

n=3 soldados, então S (3)=3 . Uma vez entendido este processo, os alunos

completaram a tabela a seguir, contendo a posição dos soldados sobreviventes para

diferentes valores de n :

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

S (n) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9

Tabela 4: Soluções do Problema de Flávio Josefo para valores pequenos

43

A partir disto, os alunos perceberam que é S (n) sempre um número ímpar,

uma vez que, para m=2 , na primeira rodada são eliminados os soldados

representados por números pares.

Deste momento em diante, analisamos o problema variando os valores de

n . Inicialmente, estudamos o comportamento da sequência S (n) , para

n=2k um número par. Para tal, a partir dos dados obtido na Tabela 1,

observamos que

S (2)=S (2.1)=1=2S(1)−1

S (4)=S (2.2)=1=2S(2)−1

S (6)=S (2.3)=5=2S(3)−1

S (8)=S (2.4)=1=2S(4)−1

S (10)=S (2.5)=5=2S(5)−1

S (12)=S (2.6)=9=2S(6)−1

Com esta análise, os alunos puderam perceber que, para n=2k , temos

que S (2k)=2S(k )– 1 , com k ∈N , o que caracteriza uma relação de

recorrência. Obviamente, a intervenção do professor se fez muito importante para a

obtenção deste resultado.

De maneira análoga, concluímos que se n=2k+1 é um número ímpar,

então S (2k+1)=2S(k )+1 , com k ∈N .

Uma vez de posse destas informações, os alunos concluíram que a resolução

do problema de Josefo era equivalente a resolução da relação de recorrência

S (1)=1

S (2k)=2S(k )−1

S (2k+1)=2S(k )+1

Paral tal, primeiramente sugerimos a construção de uma tabela contendo os

valores de S (n) , com o número de soldados n variando de 1 a 16, como

destacamos a seguir:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

S (n) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1

Tabela 5: Soluções do Problema de Josefo em blocos

44

Uma análise detalhada desta tabela permitiu a percepção de algumas

propriedades inerentes a sequência S (n) . Por exemplo, observamos que

S (2)=S (4)=S (8)=S (16)=1 , o que nos permitiu conjecturar que S (n)=1 , para

todo n=2p . Além disso, notamos que

S (3)=S (5)=S(9)=3

S (6)=S (10)=5

S (7)=S (11)=7

Desta forma, os alunos verificaram a existência da sequência (1, 3, 5, 7, 9, 11,

13, 15, …) que se inicia a cada potência de 2, conforme podemos observar na

Tabela 2. O comportamento previsível desta sequência permite, inclusive, a

obtenção de outros valores para S (n) .

Convém ressaltar que as identidades acima estabelecidas foram obtidas

mediante a observação de um número pequeno casos. Por esse motivo,

questionamos os alunos quanto a validade destas igualdades para todo número

natural p . Ou seja, se uma dada propriedade vale para um número finito de

casos, como podemos nos valer disso para concluir sua validade de um modo mais

geral? Neste sentido, os alunos compreenderam que, para verificar a validade da

relação de recorrência encontrada, necessitaremos do Princípio da Indução

Matemática.

Num primeiro momento, utilizamos o Princípio de Indução Matemática para

mostrar que S (n)=1 , para todo n=2 p . Com efeito, se p=0 , então n=1 e,

como já observamos anteriormente, neste caso sobrevive o soldado S 1 . Ou seja,

S (1)=1 e, desta forma, constatamos a validade da nossa proposição para

n=1 .

Por hipótese de indução, suponhamos que S (2p)=1 para algum p∈N .

Mostraremos que S (2p+1)=1 . Porém, para todo n=2k número par, observamos

que S (n)=2S(k )−1 . Em particular, para n=2 p+1 , temos que

S (n)=S (2 p+1)=S (2.2 p)=2S(2 p)−1

Por hipótese de indução, temos que S (2p)=1 e, com isso,

S (2p+1)=2S(2p)−1=1 . Portanto, provamos por Indução Matemática que, para

45

todo n=2p , o soldado sobrevivente é S (n)=1 .

Nosso próximo passo consiste em analisar o comportamento de S (n) para

n≠2p . Com o auxílio da Tabela 2, observamos que S (3)=S (5)=S(9)=3 . Isso

nos leva a concluir que, para todo n=2 p+1 , temos S (n)=3 . Além disso,

S (6)=S(10)=5 nos induz a concluir que, para todo n=2 p+2 , temos S (n)=5 .

De maneira análoga, S (7)=S (11)=7 nos induz a concluir que, para todo

n=2 p+3 , temos S (n)=7 .

A partir dessas observações, passamos a analisar o comportamento da

relação de recorrência obtida para S (n) , com n=2 p+r e r∈N tal que

0⩽r<2p . Com esta nova escrita para n , os alunos concluíram, com o auxílio do

professor, que se r é par, então n é par. Analogamente, se r é ímpar, então

n é ímpar.

Desta forma, se r é par, então

S (n)=S (2 p+r )=2S(2p−1+r

2 )−1 (1)

e, analogamente, se r é ímpar, então

S (n)=S (2 p+r )=2S(2p−1+r−1

2 )+1 (2)

Solicitamos aos alunos que verificassem a validade das igualdades (1) e (2)

para diferentes valores de r e p . Essa atividade pode auxiliar na tarefa de

encontrarmos uma equação candidata a solução da relação de recorrência.

Para o caso em que p=r=1 , temos n=2(1)+1=3 e, com isto, segue da

igualdade (2) que

S (n)=2S(21−1+1−1

2 )+1=2S(20+02

)+1=2S(1)+1=2.1+1=3=2r+1

Por outro lado, se p=2 e r=2 , temos n=2(2)+2=6 e, com isso, segue

da igualdade (1) que

S (n)=2S(22−1+22

)−1=2S(21+1)−1=2S(3)−1=2.3−1=5=2r+1

46

Fizemos mais alguns exemplos neste sentido, de modo a concluirmos que

S (n)=S (2p+r )=2r+1 é uma possível solução para o problema de Josefo.

Novamente, vamos utilizar o Princípio de Indução Matemática sobre n∈N , para

verificar a validade desta possível solução encontrada para quaisquer p , r∈N .

Inicialmente, observamos que se p=r=0 , então S (1)=2.0+1=1 , donde

segue que para um grupo com apenas um soldado, ele próprio sobreviverá, vindo de

acordo com que havíamos estudado inicialmente.

Por hipótese de indução, suponhamos que existe um número natural n tal

que S (n)=S (2 p+r )=2r+1 para quaisquer p , r∈N Vamos verificar a veracidade

desta solução para n+1 , assim escrevemos n da seguinte forma

n+1=2 p+r+1 , ou seja, S (n+1)=S (2p+r+1)=2(r+1)+1 .

Para isto, consideramos se n+1=2p+r+1 é par, da igualdade (1), segue que

S (n+1)=S (2 p+r+1)=2 S (2 p−1+r+1

2 )−1 .

Por hipótese de indução, temos que

S (2p−1+r+1

2 )=2 r+1

2 +1=(r+1)+1 .

Consequentemente

S (2p+r+1)=2 S (2p−1+r+1

2 )−1=2(( r+1)+1)−1=2(r+1)+1 .

Se n+1 é ímpar, pela igualdade (2), temos que

S (n+1)=S (2 p+r+1)=2 S (2 p−1+

(r+1)−1

2 )+1 .

Por hipótese de indução,

S (2p−1+

(r−1)+1

2 )=2 ((r+1)−1)

2 +1=( r+1)

e, consequentemente S (2p+r+1)=2 S (2p−1+

( r+1)−1

2 )+1=2(r+1)+1

Ou seja, a fórmula vale para n+1 e portanto S (n)=2r+1 , ∀ n∈ℕ .

47

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao longo deste trabalho desenvolvemos uma proposta didática com alunos do

segundo ano do Ensino Médio, abordando conteúdos matemáticos mais sofisticados

tais como Relações de Recorrências e o Princípio de Indução Matemática, com o

objetivo de solucionar o problema de Flávio Josefo.

Analisamos a matemática envolvida em todo esse processo, para então

elaborarmos as atividades aos alunos. Ao final de cada encontro, refletimos com os

alunos acerca da compreensão dos conteúdos desenvolvidos. Utilizamos esta

reflexão para reelaborar o próximo encontro.

O envolvimento e comprometimento dos alunos foram importantes para o

sucesso da prática pedagógica. A cada encontro, a turma se sentia mais desafiada,

sempre resolvendo todas as atividades propostas.

Ao estudar Sequências Numéricas, Progressão Aritmética e Progressão

Geométrica, conteúdos estes que já fazem parte da base curricular do Ensino

Médio, percebemos que ainda é possível modificar o enfoque que hoje é dado ao

assunto, ampliando os conceitos apresentados pelos livros didáticos, é necessário

priorizar que os alunos construa os conceitos, introduzindo algumas demonstrações

matemáticas.

Conteúdos como relações de recorrência e indução matemática que são mais

abstratos, podem também serem abordados no Ensino Médio, será necessário ter

um problema motivador, ou até um enfoque que auxilie a compreensão dos

conceitos abordados, no entanto, isso exigirá do educador uma certa bagagem

matemática e um planejamento da aula que seja coeso, pois assim terá condições

de guiar os alunos neste novo mundo de conhecimentos matemáticos.

Na finalização deste trabalho reforçamos a importância de assuntos como

Relações de recorrência e Indução matemática no Ensino da Matemática, pois o

primeiro está diretamente ligado a informática e a assuntos já estudados como: PA e

PG. E o segundo desenvolve a ideia de infinito, que é conceito um tanto árduo para

os alunos compreenderem. E por isso a escola deve permitir que os alunos que

aprofundem conceitos matemáticos, ampliando as possibilidades de aprendizagem

através de diferentes abordagens dos assuntos estudados.

48

6. REFERÊNCIAS

FLÁVIO Josefo Disponível em: <http://greciantiga.org/arquivo.asp?num=0581>.

Acesso em: 24 fev. 2013.

FOMIN, Dmitri; GENKIN, Sergey; ITENBERG, Ilia. Círculos Matemáticos - A

Experiência Russa. 1ª edição Rio de Janeiro: Impa, 2010.

HEFEZ, Abramo. Indução Matemática. 1ª edição Rio de Janeiro: OBMEP, 2009.

GIRALDO, Victor et al. Livro Companheiro do Professor de Matemática: Números

Reais. 1ª edição Rio de Janeiro: 2013. No prelo.

JESUS, Eliane Alves de; SILVA, Elisa Fonseca Sena e. Relações de Recorrência.

Belo Horizonte: 2006.

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática no Ensino Médio. 6ª edição, Rio de Janeiro:

SBM, 2006.

OLIVEIRA, Krerley Irraciel Martins; FERNANDEZ, Adán José Corcho. Iniciação à

Matemática: um curso com problemas e soluções. 1ª edição, Rio de Janeiro:

SBM, 2010.

PROBLEMA de Flávio Josefo Disponível em:

<http://www.calendario.cnt.br/Paginas/Josefo.htm>. Acesso em: 24 fev. 2013.

Problema de Flávio Josefo. Dis

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