UNIDADE 3 - VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO

3.1 - Introdução

Vibração forçada é aquela que ocorre quando o sistema sofre a ação de forças externas durante o movimento.

As forças que atuam sobre o sistema podem ser determinísticas ou aleatórias, determinando uma característica do

movimento vibratório. As forças determinísticas poderão se apresentar de diversas formas. As forças harmônicas e as

forças periódicas são as que representam a maioria dos fenômenos responsáveis por vibrações em sistemas físicos.

Como visto na Unidade 2, os sistemas que serão estudados são representados por equações diferenciais lineares. A

resposta de um tal sistema, que é a solução da equação do movimento, sob a ação de forças, terá a mesma forma

funcional que a força atuante. Isto significa que uma força harmônica produz uma vibração harmônica, uma força

periódica produz uma vibração periódica, etc. A solução particular da equação diferencial é, então responsável por

representar este movimento. Mas a solução geral é composta de uma solução homogênea e uma solução particular. A

solução homogênea representa a parcela transitória da resposta do sistema, aquela que é produzida pelas condições

iniciais do movimento. É também a solução homogênea que representa a resposta transiente que resulta da aplicação

eventual de alguma força com tempo de duração finito, o que será visto na Unidade 4.

A excitação harmônica é representada por uma função senoidal apresentando a forma

F(t) = F sen( t − ) 0 ω φ ou

F(t) = F cos( t − ) 0 ω φ

onde F0 é a amplitude da força (o valor da força quando a mesma é aplicada estaticamente), ω é a frequência com que a

força é aplicada (igual a zero quando de aplicação estática) e φ é o ângulo de fase medido em relação ao referencial de

tempo (atraso da resposta em relação à força).

Em forma complexa pode-se escrever também

F(t) = F ei( t− )

0

ω φ

Este tipo de força produzirá uma resposta harmônica que também terá a forma funcional senoidal.

Neste capítulo, também será visto o fenômeno da ressonância, que ocorre quando a frequência com que a

força é aplicada coincide com a frequência natural do sistema que sofre a ação da referida força. Este fenômeno é

amplamente conhecido e pode produzir graves consequências à integridade estrutural do sistema.

3.2 - Equação Diferencial do Movimento

k

(a)

kx

m m

.

c cx

x

Sistema Diagrama de corpo livre

(b)

F(t) F(t)

Figura 3.1 - Sistema de um grau de liberdade sob esforço externo.

A Figura 3.1 mostra o modelo de um sistema de um grau de liberdade, amortecido, e seu respectivo diagrama

de corpo livre. O diagrama de corpo livre mostrado na Figura 3.1b ilustra as forças atuantes na massa m. Aplicando a 2a

Lei de Newton, a equação diferencial do movimento é obtida como

Unidade 3: Vibrações Forçadas sob Excitação Harmônica

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mx&&+ cx& + kx = F(t) (3.1)

Esta equação diferencial possui uma solução geral constituída de uma solução homogênea associada a uma

solução particular

x(t) = xh (t) + x p (t) (3.2)

A solução homogênea é obtida fazendo F(t) = 0 resultando na vibração livre (dependente das condições

iniciais) que foi estudada na Unidade 2. A solução particular representa a vibração de regime permanente do sistema,

persistindo enquanto a força externa atuar. A Figura 3.2 ilustra a composição da solução da equação diferencial (3.1). A

parcela do movimento que diminui com o tempo, devido ao amortecimento é chamada transiente ou transitória e a

rapidez com que ocorre esta diminuição depende dos parâmetros do sistema, m, c e k.

t

t

xh(t)

xp(t)

x(t) = xp(t) + xp(t)

t

Figura 3.2 - Soluções homogênea, particular e geral da equação diferencial do movimento.

3.3 - Sistema Não Amortecido Sob Força Harmônica

Por simplicidade, estudaremos inicialmente o sistema sem amortecimento (c = 0) e com F(t) = F0 cosωt. A

equação (3.1) assume a forma

mx&&+ kx = F0 cosωt (3.3)

A solução homogênea desta equação, estudada na seção 2.2.1, tem a forma

xh (t) = C1 cosωn t + C2 senωn t (3.4)

A solução particular, por sua vez, é

x p (t) = X cosωt (3.5a)

Se (3.5a) é solução da equação (3.3), então deve verificar a mesma. Se a velocidade e a aceleração são obtidos

por derivação direta

x& p (t) X sen t =