Utilidades Das Equações Diferenciais

INTRODUÇÃO

O presente trabalho teve como objetivo a abordagem de um assunto discutido em sala de aula, durante o período que tivemos a cadeira de Cálculo Operacional, que são as equações diferenciais, dando enfoque em algumas aplicações delas nas áreas da engenharia e a importância do seu estudo.

Historicamente, as equações diferenciais começaram com o estudo do cálculo por Isaac Newton e Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton atuou relativamente pouco na área das equações diferenciais, mas o desenvolvimento do cálculo originou uma base para a aplicação das equações diferenciais no século XVIII, especialmente por Euler. Também temos outro nome como um dos principais matemáticos relacionado às equações diferenciais, o matemático Bernoulli, sendo o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz.

As equações diferenciais estão presentes em quase todas as áreas de estudo como, por exemplo, na engenharia, em física, biologia, estatística, entre outras áreas.

Portanto, procurou-se definir o que é uma equação diferencial, suas classificações, ordem, a importância de seu estudo para a engenharia, e citar algumas de suas utilidades em áreas da engenharia.

EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Equação diferencial é uma equação em que suas incógnitas são funções e a equação envolve as derivadas dessas funções.Também podemos afirmar que a equação diferencial é uma equação que contêm derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

Sua definição é dada por: F(x,y(x), y’(x), y’’(x), ..., y^n(x)) = 0.

E, além disso, podemos classifica-las em EDO (Equações Diferenciais Ordinárias), quando possui apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, e EDP (Equações Diferenciais Parciais), quando envolve derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a duas ou mais variáveis independentes.

A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a forma de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas como, por exemplo: Ay(3)+By(2)+Cy(1)+Dy(0)=0

Alguns exemplos de ordem e grau:

y"+3y'+6y=sen(x) tem ordem 2 e grau 1

(y")³+3y'+6y=tan(x) tem ordem 2 e grau 3

y"+3yy'=exp(x) tem ordem 2 e grau 1

y'=f(x,y) tem ordem 1 e grau 1

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tem ordem 1 e grau 1

Ainda podemos classificar as equações diferenciais em lineares ou não lineares e homogênea ou não homogênea.

- Equação Linear: Uma equação onde todos os coeficientes são funções de x e a função y e as suas derivadas têm todos os expoentes1 (ou 0) e forma uma reta.

- Equação não Linear: Uma equação que apresenta coeficientes, onde eles e as suas derivadas têm todos os expoentes 2, ou mais, gerando um arco.

- Equação Homogênea: É uma equação diferencial linear de ordem ‘’n’’, onde seu resultado é igual à zero.

- Equação não Homogênea: É uma equação com g(x) diferente de zero.

IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA A ENGENHARIA

Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de representar