Vetor Gradiente
Por: Breno Diego • 26/10/2018 • Resenha • 1.832 Palavras (8 Páginas) • 332 Visualizações
[pic 1]
- Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos Tangentes
Luiza Amalia Pinto Cant˜ao
Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP luiza@sorocaba.unesp.br
Estudos Anteriores
Derivadas parciais: Taxa de varia¸c˜ao de uma fun¸c˜ao em rela¸c˜ao a uma vari´avel. Ou seja, se u = i = 1, 0 , ent˜ao Dif = fx, e se u = j = 0, 1 , ent˜ao Djf = fy.[pic 2]
Regra da Cadeia: Se f (x, y) ´e diferenci´avel, ent˜ao a taxa com que f varia em rela¸c˜ao a t ao longo de uma curva diferenci´avel x = g(t), y = h(t) ´e:
df df
=[pic 3][pic 4]
dx dx
dx df dy
+ .[pic 5][pic 6][pic 7]
dt dy dt
[pic 8]
Assim, num ponto P0 qualquer, isto ´e, P0(g(t0), h(t0)), a equa¸c˜ao acima nos d´a a varia¸c˜ao de f em rela¸c˜ao `a t.
Objetivo: Obter uma forma de deriva¸c˜ao em uma dire¸c˜ao qualquer dada por um versor u.
Derivada Direcional no Plano
Suposi¸c˜oes:
- f (x, y) uma fun¸c˜ao definida numa regi˜ao R do plano xy.
- P0(x0, y0) um ponto de R.
- u = u1i + u2j um versor.
x = x0 + su1 e y = y0 + su2 s˜ao equa¸c˜oes que parametrizam a reta que passa por P0 paralelamente a u.[pic 9]
- s ´e o comprimento de arco de P0 na dire¸c˜ao u.
Assim, a taxa de varia¸c˜ao de f em P0 na dire¸c˜ao u calculando df /ds ser´a:
Defini¸c˜ao: A derivada direcional de f em P0(x0, y0) na dire¸c˜ao do ver- sor u = u1i + u1j ´e o nu´mero:
. df Σ[pic 10][pic 11][pic 12]
[pic 13]
= lim f (x0 + su1, y0 + su2) − f (x0, y0)
[pic 14]
[pic 15]
desde que o limite exista.
Nota¸c˜ao: (Duf )P0 – A derivada de f em P0 na dire¸c˜ao u.
Derivada Direcional no Plano – Graficamente
[pic 16][pic 17]
Taxa de varia¸c˜ao de f na dire¸c˜ao u no ponto P0 ao longo dessa reta.[pic 18]
Coeficiente angular da curva C em P0
´e (Duf )P0 .
Derivada Direcional no Plano – C´alculos
C´alculo: Considere as retas:
x = x0 + su1 e y = y0 + su2 (1)
passando por P0(x0, y0), parametrizada pelo comprimento de arco s, na dire¸c˜ao u = u1i + u2j.
...