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ATPS

Calculo 2

Ribeirão Preto

Abril/2012

PASSO 1

Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão a introdução da função gama, a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante. Euler foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele as notações para uma função, para uma função, para a base do logaritmo natural, para a raiz quadrada de -1, para a somatória, para derivadas de graus elevados, entre muitas outras. Vamos examinar superficialmente alguns dos trabalhos de Leonhard Euler que consideramos mais relacionados com um curso de cálculo universitário.Talvez o resultado mais importante alcançado por Euler em sua juventude tenha sido a solução do problema de Basel, que consistia em encontrar uma forma fechada para a soma de séries infinitas . Esse problema desafiou muitos dos melhores matemáticos da época, como os Bernoulli, Leibniz, Stirling e de Moivre. Euler ainda calculou o valor desta função para os argumentos 4, 6, 8, 10 e 12: , , , , , .

Outro trabalho dele relacionado a séries infinitas incluiu a introdução de sua famosa constante , que ele provou ser o limite de :

quando tende ao infinito. Ele calculou o valor de com 16 casas decimais. Euler também estudou as séries de Fourier e em 1744 ele foi o primeiro a expressar uma função algébrica por uma série desse tipo, quando encontrou o resultado:

Alguns podem dizer que a análise matemática começou com Euler. Em 1748, na obra Introductio in analysin infinitorum, ele deu mais precisão à definição de funções idealizada por Johann Bernoulli. Neste trabalho, Euler baseou o cálculo em funções elementares, em oposição às curvas geométricas, como era feito até então. Ainda nele, é apresentada a fórmula:

Em Introductio in analysin infinitorum, Euler lida com logaritmos tomando apenas valores positivos, muito embora seja descoberta sua a igualdade:

Seus estudos em funções analíticas de variáveis complexas conduziram-no às equações de Cauchy-Riemann, em 1777, mas o mesmo resultado fora alcançado 25 anos antes por díAlembert.

Em Institutiones calculi differentialis, Euler aborda o comportamento da diferenciação mediante substituições.

EmInstitutiones cauculi integralis (1768-1770) Euler investigou integrais que podem ser expressas em termos de funções elementares, tratou de integrais duplas e trabalhou com equações diferenciais ordinárias e parciais.

Problemas em física levaram Euler a estudar equações diferenciais. Seus trabalhos abrangeram equações lineares com coeficientes constantes, equações de segunda ordem com coeficientes variáveis, soluções de equações diferenciais em séries de potências, fatores integrantes, e muitos outros tópicos. Observando membranas vibrantes, chegou à equação de Bessel, a qual ele resolveu introduzindo as funções de mesmo nome.

As contribuições de Euler para o conhecimento ainda abrangeram muitas outras áreas. Notadamente , sua aptidão matemática permitiu-lhe empreender grandes avanços no campo da astronomia, incluindo:

RESULTADO

N= 1 =2

N= 5 =~ 2,488

N= 10 =~2,593

N= 50 =~2,691

N= 100 =~2,704

N= 500 =~2,715

N= 1000 =~2,716

N= 5000 =~2,718

N= 10000 =~2,718

N= 100000 =~2,718

N= 1000000 =~2,718

... determinação da órbita de cometas e planetas baseadas em poucas observações, métodos de cálculo da paralaxe do Sol, a teoria da refração, considerações sobre a natureza dos cometas,... Seus trabalhos mais impressionantes, pelos quais ele ganhou vários prêmios da Academia de Ciências de Paris, estão relacionados à mecânica celeste, que atraía muitos cientistas da época.

Podem-se citar ainda, da autoria de Leonhard Euler, trabalhos aliando matemática à teoria musical (pouco conhecidos), e em cartografia.

Com esses Resultados chegamos a conclusão que quanto maior for o N, vai chegar algum momento que ele será muito próximo de 2,718 e irá se tornar aparentemente constante.

Bibliografia passo 1:

http://www.ime.unicamp.br/~calculo/ambientedeensino/modulos/history/euler/euler.html

Etapa 2

Passo 2

Euler ao estudo dos logaritmos, apresentando a importante constante . Esta constante está intimamente relacionada com a série harmônica e as funções logarítmicas, surgindo em muitas áreas da Matemática, tais como Análise e Teoria dos Números.

Ainda não se provou se é irracional ou transcendente, apesar que muitos matemáticos acreditam ser ambos.

Teorema 1: A série harmônica

diverge.

Demonstração: Euler mostrou a divergência da série harmônica usando a expansão em séries infinitas de substituindo por , isto é,

Fazendo , temos

Concluindo que

Isto não é uma prova rigorosa da divergência da série