A Relação entre a Arte e a Proporção Divina

A finalidade deste trabalho é estabelecer a conexão que a arte tem com a

matemática. Decidi focar-me na geometria e na arquitetura porque são duas

matérias que aprecio bastante.

De facto, a geometria é a ciência que estuda as formas e as relações no

espaço. Sendo assim, é essencial para o arquiteto desenvolver através dela

inteligência espacial, ou seja, como Howard Gardner explica, “capacidades de

perceber o mundo visual com precisão, efetuar transformações e modificações

sobre as percepções iniciais e ser capaz de recriar aspectos da experiência

visual, mesmo na ausência de estímulos físicos relevantes. Pode-se ser

solicitado a produzir formas ou simplesmente manipular as que foram

fornecidas.”

Cada vez mais na atualidade a matemática é utilizada na reflexão projetual do

arquiteto, principalmente com o aumento de recurso a tecnologias. Mesmo que

estejamos sempre a evoluir ainda há bem presentes ideias e teorias que vêm

desde a Grécia Antiga. Um exemplo é a proporção divina, o número de ouro, a

razão áurea, como quiserem chamar. Esta consiste numa questão real algébrica

irracional denotada pela letra grega phi. Neste trabalho exploro este número que

fascina tantas pessoas e a sua aplicação na arquitetura, tal como alguns mitos e

coincidências.

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Componente matemática

Três grandes áreas da matemática são a álgebra, a geometria e o cálculo.

No campo da matemática geometria é estudada com o objetivo de conceder ao

indivíduo formas de compreender e representar de forma organizada o mundo

visual. Com a geometria compreendemos formas dos objetos presentes na

natureza, as posições dos mesmos e as relações e propriedades que estes

contém.

Euclides foi um grande matemático e escritor da Antiguidade Clássica (por volta

do séc. III a.C.), o qual é considerado o pai da geometria pois foi o primeiro a

reunir toda a geometria numa única obra, intitulada como “Os Elementos”. Nesta

obra chega a representar uma linha e a dividi-la no ponto 0.6180399 como o

extremo da razão média, chegando assim ao phi (o número de ouro). Mais

tarde, prova também as ligações deste número com a construção de um

pentagrama.

Há quem diga que foi Pitágoras o primeiro a descrever a proporção divina e a

chegar ao número de ouro. No entanto, o matemático italiano Leonardo

Fibonacci, já no século XIII a.C. propôs uma sequência numérica para

determinar o crescimento de uma população de coelhos, que se veio a descobrir

estar relacionada com o phi. Esta sequência, também conhecida como a

sequência de Fibonacci, consiste apenas no número seguinte ser a soma dos

dois anteriores, ou seja, tendo n1 e n2, n3 consiste na soma de n1 com n2, e n4

na soma de n2 com n3, e assim sucessivamente, obtendo então: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,...

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Foi então que se notou que conforme a sequência vai aumentando, a razão

entre dois números seguidos vai se aproximando cada vez mais ao phi

(1,6180...), por exemplo, 5/6 =1,(6) e 21/34=1,6190... e 55/34=1,6176...

Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal

que g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato

g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de

Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como

base. Os números desta célebre sequência são importantes para a análise em

tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo diviso comum de

dois números inteiros e etc...

Com isto, podemos então entender:

Num segmento de reta, o número de ouro pode ser considerado como o ponto

onde este fica dividido o segmento de reta de forma a criar uma propriedade

única na qual a razão entre o segmento maior e o segmento menor seja igual à

razão entre o segmento maior e o segmento de reta na totalidade.

Como mostrado na figura, no segmento de reta AC, o ponto B é onde está a sua

secção divina. Simultaneamente, se considerarmos que uma das secções seja 1

encontramos o valor da outra secção através do phi. Ou seja, se q=1, então

p=φ, e se p=1, então q=1/φ.

Outra curiosidade do phi é ter estas duas propriedades:

- a razão entre 1 e φ é igual a φ menos 1.

- e em seguimento a esta podemos obter também que o quadrado de φ é

igual à soma de φ com 1.

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Consequentemente,