A Função injetora e sobrejetora

FUNÇÕES

                 Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, nos relatórios das empresas, enfim em todos os lugares.

                 Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, lucros e investimentos de uma empresa, horas de funcionamento de uma máquina e consumo de energia percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...

O Plano Cartesiano

                  O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

                          Cada ponto P = (a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

 

Produto Cartesiano

                   Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

AxB = { (x,y): x ∈ A e y ∈ B }

                 Observe que AxB ≠  BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição:  AxØ = Ø = Ø x B.

Ex: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:

 A x B =  {

  FUNÇÕES

                Dados dois conjuntos, A e B, não-vazios, dizemos que a relação f de A em B é função se, e somente se, para qualquer x pertencente ao conjunto A, existe, em correspondência, um único y pertencente a B, tal que o par ordenado (x, y) pertença a f.

                Simbolicamente:[pic 1][pic 2]

                                         

  Exemplo:

                Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 2, 3} e B = { 0, 1, 2, 3, 4}, vamos analisar algumas relações estabelecidas a partir de A x B e determinar quais são funções e quais não são:

1. R1 = { (x, y) ∈ A x B | y = x2 }

• Determinação de seus elementos:

     - Representação:

      Conclusão:  _____________________________________________________________________

1. R2 = { (x, y) ∈ A x B | y = x + 1 }

• Determinação de seus elementos:

     -    Representação:

     

       -  Conclusão:  __________________________________________________________________    

  R3 = { (x, y) ∈ A x B | y = 5 }

• Determinação de seus elementos:

      -  Representação:

     

• Conclusão:  __________________________________________________________________

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. ASSINALE  OS  DIAGRAMAS  QUE  REPRESENTAM  FUNÇÕES:

a)                                                                                            b) [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

                                                                                                                                                                      [pic 8][pic 9]

c)                                                                                             d)         [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20][pic 21]

[pic 22]

2) Seja f uma relação de A = { 0,  1, 2} em  B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}  expressa pela fórmula y = x + 2, com x ∈ A e y ∈ B. Faça um diagrama e represente-a no plano cartesiano e verifique se f é uma função de A em B:

3) Seja f uma relação de A = { -1, 0, 1, 2} em B = { 0, 2, 4, 6, 8} expressa pela fórmula  y = 2x.  Faça um diagrama e represente-a no plano cartesiano e verifique se f é uma função de A em B:

4) Dados A = { -2, -1, 1, 2} e B = { -8, -4, -1, 0, 1, 4, 8}, e uma relação f de A em B expressa pela fórmula y = x3, com x ∈ A e y ∈ B. Faça um diagrama e represente-a no plano cartesiano e verifique se f é uma função de A em B:

Valor  Numérico  De  Uma  Função:

                Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0} e B } { 0, 1, 2} e a função f: A → B, definida por f(x) = x + 2, chamamos de valor numérico da função f(x) o valor que a variável y assume  quando a variável x é substituída por um determinado valor que lhe é atribuído.