A matemática Financeira e a função exponencial (juros compostos)

A matemática Financeira e a função exponencial (juros compostos)

Chama-se função exponencial qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x)=a^x, em que a é um número real dado, a>0 e a≠1. Observa-se que a principal característica de uma função exponencial é a presença da variável no expoente.

A função exponencial está presente em diversas aplicações do cotidiano, por exemplo o crescimento populacional, a medida da pressão atmosférica, a meia-vida de uma substância etc. Na Matemática financeira a função exponencial está presente no cálculo de juros compostos, onde ocorre acumulação de capital durante o período de capitalização.

No regime de juros compostos, que tem grande importância financeira por retratar melhor a realidade, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passando a participar da geração de juros no período seguinte. Dizemos então que os juros são capitalizados, e como não só o capital inicial rende juros mas estes são devidos também sobre os juros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos (Mathias e Gomes, p.81).

Antes de aprofundar no conteúdo de juros compostos, é importante ressaltar que existe uma diferença entre a capitalização de juros simples e juros compostos, assim relatado por Marchi (2006, p.30):

A capitalização simples acontece de forma linear, enquanto a capitalização composta é exponencial. Isso faz com que, a partir do valor Presente P, o valor final em um instante qualquer seja maior nos juros compostos (desde que n seja número inteiro e maior que 1). Quando o período de capitalização for igual a 1 a capitalização será igual a composta.

Desse modo, a diferença principal entre juros simples e juros compostos ocorre quando a capitalização é inferior a 1. A seguir, apresentaremos uma tabela comparativa entre juro simples e composto, representada também num gráfico, evidenciando as diferentes formas de capitalização. O exemplo — encontrado em Mathias e Gomes (2009, p. 82).

Seja um principal de R$ 1000,00 aplicado à taxa de 20% a.a por um período de 4 anos a juros simples e compostos.

Resolução:

Temos:

Fonte: Mathias e Gomes, 2009, p.82.

Fonte: Mathias e Gomes, 2009, p.82.

A partir do exemplo anterior observa-se que os juros compostos baseiam-se nos seguintes períodos:

Ao final do 1º período, os juros incidentes sobre o capital inicial são a ele incorporados, produzindo o primeiro montante;

Ao final do 2º período, os juros incidem sobre o 1º montante e incorporam-se a ele, gerando o 2º montante.

Ao final do 3º período, os juros, calculados sobre o 2º montante, incorporam-se a ele, gerando o 3º montante; e assim por diante.

Segundo Iezzi et al. (2002, p.190), de modo geral, esses períodos podem ser facilmente entendidos a seguir: quando um capital C, a juros compostos, aplicado a uma taxa fixa i, durante n períodos, produz:

Ao