Calculo Numerico

Reciclando tópicos de Cálculo Numérico através de estimativas sobre produção de lixo doméstico

Guilherme G. Loch, Alice Kozakevicius Departamento de Matemática, CCNE, UFSM, 97105-900, Santa Maria, RS E-mail: [e-mail], [e-mail]

Palavras-chave: Ensino, Cálculo Numérico, obtenção de estimativas, lixo doméstico Resumo: A produção de lixo doméstico é considerada neste trabalho como pano de fundo para abordar tópicos relacionados à disciplina de cálculo numérico de forma mais contextualizada. Neste trabalho, são descritas estratégias didáticas utilizadas em sala de aula ao longo de um semestre, com o intuito de criar uma conexão entre aplicações e conteúdos da disciplina. Nesse sentido, questões práticas envolvendo aspectos sobre a produção de lixo local são tratadas por meio de ferramentas desenvolvidas com os métodos numéricos ensinados ao longo do semestre.

1 Introdução A questão da produção de lixo nas cidades, apesar de vir recebendo atenção dos meios de comunicação locais, como por exemplo o artigo [2], do Jornal Diário de Santa Maria, RS, ainda está longe de ser tratada de forma consciente pela população como um todo e de ter uma ampla política de manejo, preocupada com questões relacionadas ao impacto ambiental e à contaminação de rios, córregos e subsolo de modo geral. Esta afirmação é baseada simplesmente na observação dos aterros sanitários a céu aberto, que são, ainda hoje na maioria das cidades, o destino final dado ao lixo produzido diariamente. A falta de consciência e de alternativas envolvendo a problemática do lixo em nossa comunidade são os focos motivadores deste trabalho. Além disso, através da ideia de que “o fenômeno modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas da própria matemática” [1], apresenta-se uma proposta de metodologia de ensino para a disciplina de Cálculo Numérico contextualizada na temática do lixo doméstico, implementada no primeiro semestre de 2009 no curso de Matemática da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), RS, cujas referências principais seguem sendo a bibliografia indicada pelo Ministério da Educação e Cultura, [7] e [8].

2 Apresentação da Proposta e Coleta de Dados O estímulo inicial para a abordagem do tema “Lixo” dentro da disciplina foi a apresentação no primeiro dia de aula do filme “Ilha das Flores” de Jorge Furtado [4], provocando assim uma discussão sobre vários aspectos abordados no filme e como conectá-los com a disciplina. A partir daí, os acadêmicos da disciplina foram organizados em grupos para pesquisar sobre a produção e o destino do lixo na cidade de Santa Maria, RS, e realizar uma coleta de dados estatísticos levantados com base na pesagem do lixo produzido em um mês nas suas residências, conforme apresenta a Tabela 1.

Dia da Semana

Coleta Número

Total do Dia

Total Acumulado

Dia da Semana

Coleta Número

Total do Dia

Total Acumulado Sexta-feira 01 19,341 19,341 Sexta-feira 07 18,513 153,374 Segunda-feira 02 30,242 49,583 Segunda-feira 08 26,615 179,989 Quarta-feira 03 19,720 69,303 Quarta-feira 09 18,653 198,662 Sexta-feira 04 20,041 89,344 Sexta-feira 10 20,791 219,453 Segunda-feira 05 25,139 114,483 Segunda-feira 11 23,770 243,223 Quarta-feira 06 20,378 134,861 Quarta-feira 12 17,450 260,673 Fonte: Acadêmicos da disciplina de Cálculo Numérico – 2009/1 da Universidade Federal de Santa Maria, RS. Tabela 1: Produção de lixo em kg, período de quatro semanas: estimativa por coleta e valor acumulado.

460

ISSN 2317-3300

A coleta dos dados foi realizada durante quatro semanas e o período de coleta aconteceu entre os meses de março e abril de 2009, sendo que a primeira coleta ocorreu em 20/03/2009. Os dados coletados foram organizados inicialmente em tabelas individuais, depois por grupo e finalmente para a turma inteira. No período de quatro semanas, a produção estimada foi de 260,673 kg de lixo em uma turma de 15 alunos que juntamente com seus familiares e/ou companheiros de residência contabilizam um total de 36 pessoas.

3 Tópicos de Cálculo Numérico Os dados coletados serviram como material de apoio para a compreensão dos conceitos sobre erro de arredondamento e de truncamento, interpolação, interpolação inversa e métodos de ajuste de curvas e de solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Depois da coleta de dados e da discussão sobre o erro embutido nas medidas e aproximações feitas para o lixo coletado, onde se pôde explorar as definições de erro de arredondamento e erro de truncamento, na etapa seguinte foram abordadas as questões relativas à escolha de software ou aplicativo para visualização dos dados e diferentes maneiras de organização destes dados em tabelas. O aplicativo gratuito GNUPLOT [9] foi escolhido por ser de livre acesso e de fácil utilização. A noção de interpolação linear local é facilmente e naturalmente introduzida quando são traçados os gráficos dos valores das tabelas obtidas, uma vez que o próprio aplicativo GNUPLOT tem como modo padrão de apresentação de dados discretos as opções com ou sem linhas unindo os pontos. A partir de questionamentos com relação à outra função que poderia unir os pontos da Tabela 1, se dá a construção do polinômio interpolador de Lagrange (Figura 1(a)). Aqui, com o recurso de se traçar o gráfico do polinômio interpolador para todos os pontos do intervalo que contém os valores associados aos dados coletados, é permitida uma melhor compreensão e fixação do que significa ser interpolador e do que significa produzir aproximações para os valores que não estão tabelados. Para se estimar em quanto tempo seria produzida certa quantidade de lixo, os valores acumulados foram interpolados através do método da interpolação inversa. Para tal, foram invertidas as colunas da Tabela 1 e, dessa vez, os dias de coleta estavam em função do lixo acumulado.

(a) (b) Figura 1: (a) Interpolação linear local e polinômio interpolador de Lagrange do lixo estimado nos dias de coleta; (b) Método dos Mínimos Quadrados Não Linear através de uma função trigonométrica h2(x) = a + b(cos(cx+d)) para o lixo estimado em cada dia de coleta.

Observando-se o comportamento do polinômio interpolador nas vizinhanças dos valores das fronteiras, fica evidente que ele não é um bom candidato a polinômio extrapolador. Então, a questão de se construir uma função que melhor se