Definição de derivados e formação de palavras de regras

Etapa 1 – Conceito de Derivada e Regras de Derivação:

1.1 Conceitos de Derivada na Física

Vamos agora interpretar a derivada do ponto de vista da cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Veremos que a velocidade e a aceleração de um corpo podem ser determinadas através das derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a função horária do movimento do corpo.

Velocidade: Considere um corpo que se move em linha reta e seja s = s(t) a sua função horária, isto é, o espaço percorrido em função do tempo. O deslocamento do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é definido por Δs = s( t + Δt) – s (t).

A velocidade média do corpo neste intervalo de tempo é definida por

A velocidade média do corpo não dá uma informação precisa sobre a velocidade em cada instante do movimento no intervalo de tempo t e t + Δt. Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t, precisamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores, isto é, fazendo Δt 0.

A velocidade instantânea do corpo no instante t é definida por

A velocidade instantânea v(t) é a primeira derivação da função horária s(t).

1.2 Tabela

S(t) = 15 t² + 4 t – 2

T(s) S(m)

0 0

1 17

2 66

3 145

4 254

5 398

V(t) 30 t + 4

T(s) V(m/s)

0 0

1 34

2 64

3 94

4 124

5 154

1.3 Aceleração

De forma análoga ao conceito de velocidade vem o de aceleração:

A aceleração média do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é definida por:

A aceleração instantânea do corpo no instante t é definida por

Como v(t) = s’(t) podemos escrever a aceleração instantânea como a segunda derivada dos espaços em relação ao tempo. Assim a(t) = s’’(t).

V(t) 30 t + 4

A(t) = 30

1.4 Gráfico

2.0 Etapa 2 - Conceito de Derivada e Regras de Derivação

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de .

Valores para n Resultados

1 2

5 2,48832

10 2,5937446

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521

1000 2,716923932

5000 2,71801005

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

2.2 Série Harmônicas

Demonstração: Euler mostrou a divergência da série harmônica usando a expansão em séries infinitas de substituindo por , isto é,

Fazendo x = 1, temos

Concluindo que:

Isto não é uma prova rigorosa da divergência da série harmônica. Portanto, Euler procedeu do seguinte modo. Substituindo x por 1/n na série de ln(1 + x), ele obteve

Para n = 1,2,3.... , temos:

Somando membro a membro, segue que

Euler então simplificou os logaritmos do seguinte modo:

Euler o grande calculador que era estimou os termos do segundo membro para obter a expressão

Passando o logaritmo para o 1º membro, definimos a constante por:

É comum reescrever a expressão (1) na forma:

Uma prova deste fato é:

2.3 Crescimentos Populacionais

Considerando que:

No instante inicial 150 bactérias, logo No = 150, após 14 horas havia 750

N(14) = 750