Função

Resolu¸c˜ao:

a) Sendo

@f

@x

(x, y) =

x p

x2 + y2

e

@f

@y

(x, y) =

y p

x2 + y2

, temos,

Df(0, 1) = rf(0, 1) =



@f

@x

(0, 1),

@f

@y

(0, 1)



= (0, 1).

b) Dvf(1, 0) = rf(1, 0) · v = (1, 0) · (1, 1) = 1

Exerc´ıcio 3 Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = ln(x2 + y2).

a) Caracterize topologicamente o dom´ınio de f.

b) Descreva os conjuntos de n´ıvel de f.

c) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1).

d) Calcule as derivadas direccionais de f no ponto (1, 0).

Resolu¸c˜ao:

a) Dado que deveremos ter x2 + y2 > 0, o dom´ınio de f ´e o conjunto aberto, n˜ao limitado

e conexo R2 \ {(0, 0)}.

b) Cada conjunto de n´ıvel C de f ser´a caracterizado pela condi¸c˜ao f(x, y) = , em que

 2 R. Assim, teremos

C = {(x, y) 2 R2 : ln(x2 + y2) = } = {(x, y) 2 R2 : x2 + y2 = e}

e, portanto, os conjuntos de n´ıvel de f ser˜ao as circunferˆencias centradas na origem.

c) Note-se que as derivadas parciais de f s˜ao cont´ınuas no dom´ınio de f e, portanto, a

fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel e a sua derivada no ponto (0, 1) ser´a representada pela matriz

Df(0, 1) =

h

@f

@x (0, 1) @f

@y (0, 1)

i

=

h

2x

x2+y2

2y

x2+y2

i

(0,1)

=



0 2



.

Alternativamente, teremos

Df(0, 1) = rf(0, 1) = (0, 2).

d) Seja w = (u, v) 2 R2 um vector unit´ario qualquer. Ent˜ao, a derivada de f segundo w

ser´a dada por

Dwf(1, 0) =

h

2x

x2+y2

2y

x2+y2

i

(1,0)



u

v



=



2 0

 

u

v



= 2u

2

Exerc´ıcio 4 Considere a fun¸c˜ao f(x, y, z) = exyz e seja g : R2 ! R3 uma fun¸c˜ao de

classe C1 tal que g(0, 0) = (0, 1, 2) e

Dg(0, 0) =

2

4

1 2

3 4

0 1

3

5

Calcule a derivada direccional Dv(f  g)(0, 0) em que ~v = (1, 2).

Resolu¸c˜ao: Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Composta temos

D(f  g)(0, 0) = Df(g(0, 0)Dg(0, 0)

= Df(0, 1, 2)Dg(0, 0)

=

h

@f

@x (0, 1, 2) @f

@y (0, 1, 2) @f

@z (0, 1, 2)

i

2

4

1 2

3 4

0 1

3

5 .

Dado que

@f

@x

= exyz ,

@f

@y

= exz ,

@f

@z

= exy, ent˜ao

D(f  g)(0, 0) =



2 2 1



2

4

1 2

3 4

0 1

3

5 =



8 13



.

Sendo kvk