Função Par E Impar

Funções Pares e Ímpares

Examinando gráficos de funções observamos que, em certo sentido, alguns deles apresentam características especiais. Isso é um tanto vago, entretanto, conhecer algumas dessas características pode auxiliar no estudo e compreensão do gráfico de uma função mais complicada.

- Simetria em relação ao eixo vertical

É, por exemplo o caso de:

O gráfico de f(x)=x2

O gráfico de f(x)=

O gráfico de f(x)=

Uma função cujo gráfico apresenta simetria em relação ao eixo vertical, é tal que, para todo ponto do gráfico (x,f(x)), o ponto (-x,f(-x)), com f(x)=f(-x), também está no gráfico.

Uma tal função é denominada função par. Formalmente, dizemos que:

Definição: Uma função f é denominada par quando f(x)=f(-x), para todo x do Domínio f.

Analogamente, podemos observar um outro tipo de simetria que muitas vezes ocorre.

- Simetria em relação à origem

Por exemplo, temos:

O gráfico de

O gráfico de y=x3

O gráfico de y=-x5

Nos gráficos acima observamos a simetria em relação à origem, pois, para todo ponto da forma (x,f(x)), o ponto (-x,f(-x)), com f(x)= -f(-x), também está no gráfico. Uma função com essa característica é denominada função ímpar. Formalmente, temos:

Definição: Uma função f é denominada ímpar quando f(x)=-f(-x), para todo x do Domínio f.

Propriedades

– Multiplicando função par por uma ímpar tem-se função ímpar.

– Multiplicando duas funções ímpares tem-se função par.

– Multiplicando duas funções pares tem-se função par.

– Área

Para a função ímpar :

Para a função par :

• Estes resultados são válidos sob a hipótese que não há

impulso ou suas derivadas na origem.

Saber que uma função é par ou ímpar simplifica o estudo do seu comportamento pois, para essas classes de funções, conhecendo o que acontece para x>0 pode-se, utilizando os argumentos de simetria, inferir o que acontece em todo domínio da função.

Entretanto, existem funções cujos gráficos não possuem essas características. É o caso, por exemplo, de

f(x)=ln x

ou de

f(x)=