Lei gaussiana

Φe=4πR2(kQR2)=4πkQ

Se Q estiver fora da superfície fechada, o fluxo total através da superfície é nulo, pois a superfície pode ser dividida em duas partes, qualquer linha de campo que entra por um dessas partes sai pela outra e os fluxos das duas partes são iguais mas com sinais opostos.

6.4. Lei de Gauss

O fluxo elétrico produzido por várias cargas pontuais, através de uma superfície fechada, é igual à soma dos fluxos produzidos por cada uma das cargas. Como se viu na secção anterior, o fluxo resultante das cargas pontuais situadas fora da superfície fechada é nulo, e o fluxo resultante de cada carga qi situada dentro da superfície é 4 π k qi. Por exemplo, no caso da figura 6.9, apenas as duas cargas q1 e q2 produzem fluxo, já que a carga q3 se encontra fora da superfície. O fluxo total é:

Φe=4πk(q1+q2)

Figura 6.9. O fluxo elétrico através da superfície fechada depende unicamente da carga interna, neste caso q1+q2.

O resultado do exemplo da figura 6.9 pode ser generalizado para qualquer sistema de cargas e qualquer superfície fechada, e é designado de Lei de Gauss:

O fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é igual ao valor da carga total no interior da superfície, multiplicado por 4 π k.

Em termos matemáticos, a lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é:

Φe=4πkqint

Se a carga total no interior for positiva, o fluxo é positivo, indicando que há linhas de campo a sairem da superfície. Se a carga total for negativa, o fluxo é negativo porque há linhas de campo a entrar na superfície.

O fluxo elétrico total à volta de uma carga pontual é diretamente proporcional ao valor da carga. Em alguns casos é possível desenhar um número de linhas de campo proporcional à carga, para dar uma ideia mais aproximada do valor do fluxo em diferentes regiões; por exemplo, na figura 6.2 foram desenhadas 8 linhas de campo a sairem da carga de 4 nC, e 18 linhas a sairem da carga de 9 nC.

A lei de Gauss é muito útil para calcular campos elétricos de sistemas com simetria, como se verá nas seções seguintes.

Exemplo 6.2

Um eletrão encontra-se no centro de um cubo cuja aresta mede 20 nm. Calcule o fluxo elétrico através de uma das faces do cubo.

Resolução. A superfície total do cubo é fechada e portanto o fluxo através do dele pode ser calculado facilmente usando a lei de Gauss:

Φe=4πkqint

A carga interna qint é a carga do eletrão (-1.602×10-19 C). Assim, o fluxo total através do da superfície do cubo é:

Φe=π×4×9×109×(−1.602×10−19)=−18.09×10−9N⋅m2C

Por simetria, o fluxo através de cada face deve ser o mesmo, pelo que o fluxo numa face é a sexta parte do fluxo total no cubo: -3.02 nN· m2/C (o sinal negativo indica que é para dentro do cubo).

6.4.1. Campo de um plano

Considere-se