PROBABILIDADE ESTATISTICA

Distribuição Normal ou Gaussiana

Resumo. Este trabalho irá abordar a distribuição normal ou Gaussiana para análise estatística de eventos aleatórios. Serão apresentadas suas propriedades, cálculos e exemplos.

1. Introdução

Devido a grande dificuldade de observar toda uma população para analises estatísticas, examinam-se amostras e são utilizadas técnicas para diminuir as incertezas e tentar generalizar os resultados obtidos para toda a população. A distribuição normal é bastante utilizada para estes fins, desde que se conheça os parâmetros de média e desvio padrão da população, além de ser adequada quando o número de amostras fica grande.

No item 2 deste trabalho serão descritos os conceitos, as propriedades e cálculos da distribuição normal. No item 3, será visto como podemos aproximar a distribuição binomial utilizando a distribuição normal. No item 4, apresenta-se as conclusões do trabalho.

2. Distribuição Normal

Para entender a importância da distribuição normal é preciso conhecer o teorema do limite central que afirma que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral de sua média aproxima-se cada vez mais da distribuição normal. Isso significa que a partir de um número grande de amostras utilizadas em um experimento, a média para qualquer tamanho de amostra tem grandes probabilidades de ficar dentro da área do gráfico. É considerada uma amostra grande quando a quantidade de amostras for igual ou superior a 30.

A distribuição normal é representada por um gráfico em forma de sino, por isso ela também é conhecida como “curva sino” (figura 1).

O gráfico da distribuição normal é dependente de dois fatores: A média (x) determina a localização do centro do gráfico enquanto o desvio padrão (σ) determina a altura e largura do gráfico.

[pic]

Figura 1. Distribuição normal (curva sino).

2.1. Propriedades

• A curva normal tem formato de sino e é simétrica em torno da média;

• A área total sob a curva normal é igual a 1;

• A média, a mediana e a moda são iguais;

• O ponto máximo de f(x) é x = µ;

• Os pontos de inflexão são x = µ + σ e x = µ - σ.

2.2. Densidade de Distribuição Normal

Para qualquer variável aleatória, temos

|X ~ N(µ, σ) |(2.1) |

que significa que X tem distribuição normal com média µ e desvio padrão σ.

Então para a distribuição normal, a probabilidade dos valores estarem dentro de um, dois ou três desvios padrão é de:

P(µ - σ < X < µ + σ) = 0,6826

P(µ - 2σ < X < µ + 2σ) = 0,9544

P(µ - 3σ < X < µ + 3σ) = 0,9972

E a função da densidade da distribuição normal é dada por:

|[pic] |(2.2) |

[pic]

Figura 2. Probabilidade de Distribuição normal.

2.3. Normal Padrão

Quando temos uma variável aleatória com µ = 0 e σ = 1 temos uma distribuição padrão normal, denotada por Z.

Então, seja uma variável aleatória x com distribuição normal genérica (2.1) e a variável Z dada por

|Z = [pic] |(2.3) |

é possível calcular quaisquer valores para os parametros µ e σ a partir dos valores tabelados da distribuição normal padrão (ver tabela 1).

Tabela 1. Tabela Normal

[pic]

2.4. Calculando a Probabilidade de uma Distribuição Normal

Suponha que a e b sejam variáveis aleatórias com µ e σ. Então reduz-se a e b a uma variável normal padrão Z:

|Entre os valores a e b: |[pic] |(2.4) |

|Valores unliaterais: |[pic] |(2.5) |

| |[pic] |(2.6) |

Exemplos:

a) Em uma população de indivíduos adultos de sexo masculino, cuja estatura média é 1,70m e desvio padrão é 0,08m, qual a probabilidade de um indivíduo apresentar estatura entre 1,60 e 1,82m?

Calculando os dois valores de z, aplicando (2.3):

Zmin = [pic]

Zmax = [pic]

De acordo com a tabela z

P(Zmin) = 0,3944 e P(Zmax) = 0,4332

De acordo com (2.4): P = Zmin + Zmax = 0,3944 + 0,4332 = 0,8276.

Portanto, a probabilidade de encontrar um individuo com estatura entre 1,6 e 1,82m é de 82,76%.

b) Na mesma população, qual a probabilidade de se encontrar 1 indivíduo com estatura menor que 1,58?

Z = [pic]

De acordo com a tabela z

P(Z) = 0,4332

De acordo com (2.5): P = 0,5 - Z = 0,5 - 0,4332 = 0,0668.

Portanto, a probabilidade de encontrar um individuo com estatura menor que 1,58m é de 6,68%.

3. Aproximação da Distribuição Binomial utilizando a Distribuição

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