Parte e substituição de integrais: Definição

ETAPA 02

Passo 1:

Integrais por partes e por substituição: Definição

Integração por partes: é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral, podendo ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:

onde e são funções de classe C no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

Integração por substituição: é um processo para encontrar a integral, que consiste na substituição de uma variável (às vezes, da própria função) por uma função a partir do teorema fundamental do cálculo. Esse método consiste em escolher um valor I ⊆ ℝ que deve conter um intervalo real e ϕ: [a,b] →I deve ser uma função diferenciável contínua. Após isso, supõe-se que ƒ : I → ℝ é uma função contínua:

Passo 2:

Considerando as seguintes igualdades:

∫▒〖(3-t).〖(t^2-6t)〗^4 〗=∫▒〖u^4.du/(-2)〗=-u^5/10=-〖(t^2-6t)〗^5/10

u=t^2-6t

du=2t-6dt

du=-2t(-t+3)dt

du/-2=(3-t)dt

∫_0^5▒t/√(t+4) dt=t.2〖(t+4)〗^(1/2)-∫_0^5▒〖1.2〖(t+4)〗^(1/2) 〗 dt

u=t

u’=1

v=2(t+4)^(1/2)

v’=(t+4)^((-1)/2)

2t〖(t+4)〗^(1/2)-2∫_0^5▒(t+4)^(1/2) dt=

2t〖(t+4)〗^(1/2)-2∫_0^5▒(t+4)^(1/2) dt=

2t〖(t+4)〗^(1/2)-4/3 (t+4)^(3/2) |_0^5=

(2.5√(5+4)-4/3 √((〖5+4)〗^3 ))-(2.0√(0+4)-4/3 √((0+4)^3 ))=

(30+36)-(0-32/3)=-6+32/3=|-14/3|= 4,66

∫▒〖(t+4)〗^(1/2) dt=∫▒〖u^(1/2) du=〖(t+4)〗^(3/2)/(3/2)〗=(2〖(t+4)〗^(3/2))/3

u=t+4

dt=du

Podemos afirmar que: I e II são verdadeiras, logo a alternativa A é a correta, associamos então o numero 4.

ETAPA 03

Passo 1:

Calculo de área utilizando integrais: definição

A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na variável x, entre o intervalo a e b:

A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total da superfície sob a curva.

Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte expressão:

Passo 2:

Considerando as seguintes regioes S1(figura 1) e S2(figura 2). As áreas S1 e S2 são respectivamente 0,6931 ua e 6,3863 ua.

Podemos afirmar que:

S1=∫_0^2▒〖(1/x)=ln⁡(x)|_0^2 〗=ln⁡(2)=0,69u^2

S2=∫_0^4▒〖(4/x)=4ln⁡(x)|_0^4 〗=4 ln⁡(4)=5,54u^2

A I é verdadeira e a II é falsa, logo a alternativa C é a correta, associamos então o numero 8.

ETAPA 04

Passo 1:

Calculo de volume utilizando integrais: definição

Curvas rotacionadas: Tendo uma curva matematicamente determinável, uma parábola, por exemplo, com uma área delimitada pela mesma e o eixo x, fazendo com que o eixo y servisse de mastro e girasse a parábola em torno do mesmo, teríamos um sólido formado pelas infinitas lâminas em forma de parábola.

O efeito da rotação de uma parábola pode ser visualizada pelo gráfico tridimensional, o que vemos é o que chamados de paraboloide, um sólido semelhante ao recipiente de liquido de uma taça. Considerando a parte interna preenchida teremos um volume a ser calculado, o que podemos fazer utilizando o cálculo.

Sólidos delimitados por uma curva: O método para cálculo de volumes delimitados por curvas rotacionadas, como expostas acima, consiste na divisão do sólido em discos com raio igual ao valor da função que está sendo rotacionada, ou seja, para cada ponto da função teremos um disco de raio determinado pela mesma, o que nos permite fazer uma somatória de discos que acompanham o contorno