A Aplicação de Integrais duplas na Engenharia Civil

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

EWERTON RODRIGUES SOARES

201006740135

APLICAÇÃO DE INTEGRAIS DUPLAS NA ENGENHARIA CIVIL

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BELÉM

2017

Sumário

1.        Introdução        3

2.        Aplicação        4

2.1.        Cálculo de volume        4

2.2.        Cálculo de área        6

2.3.        Cálculo de massa        6

2.4.        Cálculo de carga        7

2.5.        Centro de massa        7

3.        Conclusão        8

4.        Bibliografia        9

1. Introdução

Ao longo dos séculos os seres humanos buscam meios para promover o seu desenvolvimento científico, uma das maiores descobertas foi a do cálculo diferencial e integral criado por Newton e Leibniz. Através desta descoberta surgiram várias ferramentas que contribuíram e muito para solucionar problemas na engenharia civil, os quais até então eram bem difíceis de encontrar respostas.

Entre essas ferramentas podemos destacar a integral dupla que surge a partir da extensão dos conceitos e propriedades de integral simples. No entanto, para muitos matemáticos essa ferramenta apresenta um alto grau de complexidade e acaba sendo rotulada como inútil.

Através da integral dupla vários problemas geométricos foram solucionados, entre eles podemos citar com ênfase problemas de áreas e volumes. Outra grande contribuição da integral dupla foi a possibilidade de solucionar problemas de massa, centro de massa, momento de inércia, entre outros.

Esta pesquisa tem por objetivo geral mostrar conceitos fundamentais de integrais duplas, mostrando situações cotidianas na engenharia e no cálculo de projetos em que as integrais duplas podem ser utilizadas de modo prático e funcional.

1. Aplicação

Trataremos das aplicações das integrais duplas podendo ser usadas em diversos momentos na Engenharia Civil. As integrais duplas são uma forte ferramenta matemática que possibilitou a solução de problemas que até então não possuíam respostas.

1. Cálculo de volume

“Se aproximarmos um sólido por colunas retangulares e aumentarmos o número de colunas, o limite da soma dos volumes das colunas será o volume do sólido” (STEWART, 2007, p. 978,2007).

Como vimos anteriormente a soma de Riemann nas integrais duplas é a soma dos volumes dos paralelepípedos cujas bases são os sub-retângulos e cujas alturas correspondentes são os valores de f(ξi, Υi), considerando f(x,y) maior ou igual a zero numa região D do R², temos que , é uma aproximação do volume da porção de espaço compreendido entre f(x,y) e a região D do plano xy.[pic 3]

 “Quando ∆x → 0 e ∆y → 0, essa soma vai se aproximando mais e mais do que podemos chamar o volume do sólido delimitado pelo domínio D, pelo gráfico f e pelas retas que passam pela fronteira de D e são paralelas ao eixo Oz.”( ÁVILA, 1995, p.136).

Sendo assim podemos expressar o volume V de uma função f(x,y) não-negativa, contínua e integrável sobre uma região D, como

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Através desta aplicação podemos calcular o volume de vários sólidos geométricos que até então representavam um grande problema para a geometria comum. Ela nos permite calcular o volume de qualquer espaço compreendido entre f(x,y) e o plano xy. Veja no exemplo a seguir:

• Calcule o volume do sólido dado por z² + y² + x² ≤ R², onde R é uma constante.

Desenhando o sólido procurado, temos que estamos trabalhando com uma esfera com centro na origem, logo temos duas funções que são 𝑓 (𝑥, 𝑦) =  e 𝑓(𝑥, 𝑦) = −. Veja a figura abaixo:[pic 5][pic 6]

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Observe que temos duas funções geradas por z² + y² + x² ≤ R², uma acima e a outra abaixo do plano xy. Temos que a projeção no plano xy é a de um círculo de raio R, como mostra a figura abaixo:

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Sendo assim temos que o conjunto de integração é D, dado por 𝐷 = { 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 2 ∶ −𝑅 ≤ 𝑥 ≤ 𝑅 𝑒 −  ≤ 𝑦 ≤ }, logo o volume do sólido é dado por: [pic 9][pic 10]

𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2

Calculando 𝑉1, que é volume do sólido acima do plano xy, temos:

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Note que encontramos uma integral dupla muito complexa, fazendo então, a mudança para coordenadas polares temos um novo conjunto D’, dado por 𝐷′ = { (𝑟, 𝜃) ∈ 𝑅 2 ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}, assim segue que

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Como 𝑓 (𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃) =  = , logo temos[pic 13][pic 14]

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Fazendo 𝑢 = 𝑅² − 𝑟² → 𝑑𝑢 = −2𝑟𝑑𝑟, onde 𝑅² ≤ 𝑢 ≤ 0, temos então:

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Logo temos que o volume V1 é dado por:

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Calculando agora 𝑉2, que é o volume do sólido abaixo do plano xy, temos:

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