A Apostila Sobre Cálculo

[pic 1][pic 2]

C´alculo  2

Lista  de  Exerc´ıcios  –  M´odulo  1  –  Lista  1  –  Solu¸c˜ao

[pic 3]

1. Nem tudo o que sobe desce.  De fato, podemos imaginar que uma pedra seja lan¸cada de um estilingue com uma velocidade t˜ao grande que acabe escapando da atrac˜ao gravitacional da Terra.  Para ver que isso pode ocorrer e para se ter uma id´eia dessa velocidade, denote por  v0  a  velocidade  inicial,  por  m  a  massa  e  por  x(t)  a  distˆancia  da  pedra  at´e  o  centro da  terra  no  instante  t.  Desconsiderando  a  resistˆencia  do  ar,  o  corpo  est´a  sujeito  apenas a`  for¸ca  gravitacional  F  =     m M G/x2,  em  que  G ´e  constante,  M  ´e  a  massa  da  Terra  e R seu raio. Pela segunda lei de Newton, temos que[pic 4]

( )        mxjj(t) =        mMG.[pic 5]

x(t)2

1. Cancelando a massa m e multiplicando a equa¸c˜ao (  ) por xj(t), obtemos  que  xj(t) xjj(t)   =     M Gxj(t)/x(t)2.    Integre  ambos os  lados  dessa  equa¸c˜ao  e  use  as  condi¸c˜oes  iniciais  x(0)  =  R e  xj(0)  =  v0  para  obter  uma  equa¸c˜ao  diferencial  de  primeira ordem para x(t).[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

1. Mostre que, se v0

≥ ve

=        2MG,  ent˜ao  a  velocidade  xj(t)  ´e R

sempre  positiva.  A  constante  ve  ´e  denominada  a  velocidade  de[pic 11][pic 12]

escape da Terra.

1. Quando v0 = ve, mostre que x(t) satisfaz uma equa¸c˜ao diferen- cial  separ´avel.   Resolva  essa  equa¸c˜ao  e  determine  x(t)  usando que a posi¸c˜ao inicial ´e x(0) = R.

[pic 13]

Solu¸c˜ao

1. Com a substitui¸c˜ao v = xj(t) obtemos dv = xjj(t)dt e

∫  xj(t) xjj

(t) dt = ∫

v dv =

v2

+ A =[pic 14]

2

xj(t)2

+ A[pic 15]

2

Com a substitui¸c˜ao x = x(t) obtemos dx = xj(t)dt e

∫  −M Gxj(t) dt = M G ∫  −1 dx = M G + B = M G + B[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Assim

xj(t)2 = 2MG + C

x(t)[pic 21]

onde C = 2(B − A). Usando que x(0) = R e xj(0) = v0, temos que v2 = 2MG/R + C, de  modo  que  C  =  v2 − 2MG/R.   Segue  que  x(t)  satisfaz  a  equa¸c˜ao  diferencial  de[pic 22][pic 23]

primeira ordem[pic 24][pic 25][pic 26]

xj(t)2 = 2MG

+ v2 − 2MG

1. Se v0 ≥ ve, ent˜ao v2 − 2MG/R ≥ 0.  Usando o item anterior, segue que[pic 27]

xj(t)2 = 2MG +  v2 − 2MG  > 0[pic 28][pic 29][pic 30]

uma  vez  que  x(t)  >  0.   Como  xj(t)2  nunca  se  anula,  segue  que  xj(t)  n˜ao  se  anula  e, portanto,  n˜ao  muda  de  sinal.  Uma  vez  que  xj(0) = v0  > 0,  segue  que  xj(t) ´e  sempre positiva.

1. Se v0 = ve, entao x(t) satisfaz a equa¸c˜ao

xj(t)2 = 2MG[pic 31]

x(t)

que ´e separ´avel, de modo que podemos aplicar os passos:

Equil´ıbrios:  Procurando  solu¸c˜oes  constantes  x(t)  =  xeq,  substituindo  na  EDO  ob- temos

...