A Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli mostra a relação inversamente proporcional entre a velocidade de escoamento de um fluido e a pressão exercida por ele.

A chamada equação de Bernoulli foi proposta no século XVII por Daniel Bernoulli, que realizou estudos sobre o escoamento de fluidos. Essa equação não é um princípio novo, mas, sim, uma reformulação da conhecida Lei de Stevin, utilizada para fluidos em repouso. A equação de Bernoulli é dada por:

P + ½ ρv^2 + ρgy = Constante

Na equação, P é a pressão exercida pelo fluido, v é a velocidade de escoamento, g é a gravidade, ρ é a densidade do fluido e y é a altura. Algo importante que essa equação evidencia é que, tomando duas regiões no espaço em que não há diferença de altura, a velocidade e a pressão exercida pelo fluido serão inversamente proporcionais.

Para duas regiões no espaço que não apresentam diferença de altura, temos:

P1 + ½ ρv1^2 = P2 + ½ ρv2^2

A partir dessa igualdade, podemos entender que, quanto maior for a velocidade de escoamento de um fluido, menor será a pressão exercida por ele e vice-versa

Ainda como aplicação dessa equação, podemos citar as asas das aeronaves, que são projetadas para que a velocidade do vento seja maior na parte superior, diminuindo a pressão do ar e gerando uma força ascendente denominada de força de sustentação.

Outra equação importante quando nos referimos a fluidos em escoamento é a equação da continuidade, que nos mostra a relação inversa entre a área de escoamento e a velocidade do fluido.

Teorema de Pascal:

"O acréscimo de pressão exercida num ponto em um líquido ideal em equilíbrio se transmite integralmente a todos os pontos desse líquido e às paredes do recipiente que o contém."

Uma dos exemplos de  aplicações do teorema de Pascal é o elevador hidraulico.

Esta máquina consiste em dois cilindros de raios diferentes A e B, interligados por um tubo, no seu interior existe um líquido que sustenta dois êmbolos de áreas diferentes S1 e S2 .

Se aplicarmos uma força de intensidade F no êmbolo de área S1 , exerceremos um acréscimo de pressão sobre o líquido dado por:

                           deltaP=F/S1

Pelo teorema de Pascal, sabemos que este acréscimo de pressão será transmitido integralmente a todos os pontos do líquido, inclusive ao êmbolo de área S2, porém transmitindo um força diferente da aplicada:

                           deltaP=F´/S2

Como o acréscimo de pressão é igual para ambas as expressões podemos igualá-las:

                           F/S1 = F´/S2

Pelo teorema de Stevin sabemos que:

Então, considerando dois pontos, A e B:

Ao aplicarmos uma força qualquer, as pressões no ponto A e B sofrerão um acréscimo:

Se o líquido em questão for ideal, ele não sofrerá compressão, então a distância h, será a mesma após a aplicação da força.

Teorema de Stevin:

"A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as profundidades dos pontos."

Através deste teorema podemos concluir que todos os pontos a uma mesma profundidade, em um fluido homogêneo (que tem sempre a mesma densidade) estão submetidos à mesma pressão.

O Teorema de Stevin, ou Lei de Stevin é um princípio físico, estabelecido pelo matemático, engenheiro, e físico Simon Stevin , que estabelece que a pressão absoluta num ponto de um líquido homogêneo e incompressível, de densidade ρ e à profundidade h, é igual à pressão atmosférica (exercida sobre a superfície desse líquido) mais a pressão efetiva , e não depende da forma do recipiente:

A pressão hidrostática em um ponto:

    P a b s = P a t m + P e f

ou seja,

    P a b s = P a t m + ρ g h

onde, no SI:

P a b s -corresponde à pressão hidrostática,

ρ - é a densidade do líquido,

g -é a aceleração da gravidade,

h  - é a medida da coluna de líquido acima do ponto — ou seja, a profundidade na qual o líquido se encontra (em metros) —, e

P a t m -corresponde à pressão atmosférica (em pascals).

A lei de Stevin está relacionada às verificações que podemos fazer sobre a pressão atmosférica e a pressão nos líquidos. Como se sabe, dos estudos no campo da hidrostática], quando se considera um líquido qualquer que está em equilíbrio, as grandezas a considerar são: