A Probabilidade

PROBABILIDADES  2017  ME8010/NMA010

1 – De um total de 500 empregados, 200 participam de um plano de lucros (L) da empresa, 300 contam com cobertura de seguro médico (M) e 100 participam de ambos os programas. Qual a probabilidade de que um empregado escolhido ao acaso:

1. seja participante de pelo menos um dos programas;

Dados P(L) = 200/500 = 0,40  P(M)= 300/500 = 0,60   P(M ∩ L) = 0,20

P(L U M) = 0,4 + 0,6 – 0,2 = 0,80

1. não participe de nenhum programa;  

P(𝐿̅ ∩𝑀̅) = 1- P(L U M) = 1 -  0,80 = 0,20  

1. participe do plano de lucros(L), dado que conta com seguro médico(M);        

P(L/M) = 0,2/0,6 = 1/3

2 – As falhas na fundação de um grande edifício podem ser dois tipos A (capacidade de suportar) e B (fundação excessiva). Sabendo que P(A)= 0,001, P(B)= 0,008 e P(A/B)=0,02.  Determinar a probabilidade: a)  de haver falha na fundação

 P(A U B) = 0,001 + 0,008 – 0,02*0,008 = 0,00884

b) de ocorrer a capacidade de suportar e não ocorrer fundação excessiva P(𝐴 ∩𝐵̅) = 0,001 – 0,00016 = 0,00084 

1. – Um aparelho é considerado “bom” se não existem defeitos do tipo: mecânico(M), elétrico(E) e de acabamento(A). Sabe-se que P(M) = 0,05; P(E) = 0,02; P(A) = 0,10; P(M ∩ 𝐸)  = 0,01; P(M ∩ 𝐴)  =0,008; P(A ∩ 𝐸)  =0,002 e P(A ∩ 𝑀 ∩ 𝐸) = 0,0005. Determine a probabilidade de um aparelho: a) Seja bom;  

= 1 -  P(A U 𝑀 U E) = 1 – 0,05 + 0,02 + 0,10 – 0,01 – 0,008 – 0,002 + 0,0005 = 0,8495 b) tenha apenas um defeito.    

= (0,05 - 0,008 – 0,01 + 0,0005) + (0,02 – 0,002 – 0,01 + 0,0005) + (0,10 – 0,008 – 0,002 + 0,0005)    = 0,1315 

1. – Trabalha-se uma peça destinada a entrar em um conjunto. Essa peça é um paralelepípedo retângulo. Considerase boa quando as dimensões de cada aresta não difere por mais de 0,01 mm das dimensões prescritas. As probabilidades de que apareçam dimensões fora de especificação são: no comprimento 0,08; na largura 0,012; na altura 0,01(eventos independentes). Qual a probabilidade da peça ser rejeitada.  

= 1 – 0,92*0,988* 0,99 = 0,10013

1. – Um artigo é entregue a uma loja por quatro fornecedores A1, A2, A3 e A4. O número de artigos comprados de cada um dos fornecedores é: n(A1)= 800; n(A2)= 400; n(A3) = 300 e n(A4) = 500. Sabe-se que cada um deles fornecem as seguintes porcentagens de defeituosos: A1 = 3%; A2 = 4%; A3 = 5% e A4 = 6% . Do estoque, retirou-se um artigo e constatou-se que é defeituoso; qual é a probabilidade dele ter vindo do fornecedor A4?    

P(A4/D) = 0,06* 500/(0,03*800 + 0,04*400 + 0,05*300 + 0,06*500)= 0,3529  

1. – Uma água é contaminada se forem encontrados bacilos tipo A e/ou bacilos tipo B e C simultaneamente A∪(B∩C). As probabilidades de se encontrarem bacilos tipos A, B e C são respectivamente 0,38; 0,27; 0,84. Existindo bacilos tipo B, a probabilidade de existirem bacilos tipo C é reduzida à metade. Sabe-se que existindo bacilos tipo A não aparecerão bacilos tipo B. Supor ainda que P(A ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 0. Qual a probabilidade: a) de aparecerem bacilos B ou C;      b) da água estar contaminada.  

Dados : P(C/B) = 0,42   P( C ∩ B) = 0,42*0,27 = 0,1134   P(B U C) = 0,27 +0,84 – 0,1134 = 0,9966

P(Contaminada) = P(A) + P( C ∩ B) = 0,38 + 0,1134 = 0,4934

1. – Um homem para ir para casa pode escolher um caminho que passa por uma ponte ou que passa sob um túnel. Ele varia seu percurso escolhendo o túnel 1/4 das vezes. Se ele utiliza o percurso do túnel, chega em casa às 18h, 80% das vezes e quando faz pela ponte chega às 18h, apenas 70% das vezes. Se são 18h e ele não chegou, qual é a probabilidade de ter ele utilizado a ponte?  

Dados P(T) = 0,25 ;  P(CH18/T) = 0,80; P(CH18/P) = 0,70

P(P/NCH18) =  0,3*0,75/(0,25*0,2 + 0,75*0,3) = 0,8181

1. – Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica(EL) e da parte mecânica (ME) de um certo projeto. A probabilidade de ganhar a parte elétrica é de 50%. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte mecânica é de 75%; se ele perdeu a parte elétrica a probabilidade de ganhar a parte mecânica é de 30%. Qual a probabilidade de:

a)     ganhar os dois contratos;    b) ganhar apenas um;     c) não ganhar nada?      

Dados : P(EL) = 0,50    P(NEL) = 0,50    P(ME/EL) = 0,75      P(ME/NEL) = 0,30

1. P(EL ∩ ME) = 0,50*0,75 = 0,375 
2. P(EL ∩̅𝑀̅̅̅𝐸̅) + P(̅𝐸̅̅𝐿̅ ∩𝑀𝐸) = 0,5*0,25 + 0,50* 0,30 = 0,275 
3. P(̅𝐸̅̅𝐿̅ ∩ ̅𝑀̅̅̅𝐸̅) = 0,5*0,70 = 0,35 

1. – Um geólogo diz que existe uma probabilidade 0,8 de ter petróleo numa certa região, além disso se nessa terra existe petróleo a probabilidade de encontrar na primeira perfuração é 0,50. Qual é a probabilidade de ter petróleo se na primeira perfuração não se encontrou petróleo?    

Dados:  P(TP) = 0,80      P(1PF/TP) = 0,50  Pede-se P(TP/N1PF)

P(TP/N1PF) = 0,8*0,5/(0,8*0,5 + 0,2*1 = 0,667 

1. -  Uma senhora compra determinado produto às vezes da marca A e as vezes da marca B. Se ficou satisfeita com sua aquisição, ela compra novamente a mesma marca, caso contrário ela muda. Se uma determinada marca A tem probabilidade 0,70 de ser satisfatória, enquanto que a marca B tem probabilidade 0,80. Qual a probabilidade de que na terceira aquisição seja da marca A, se ela joga uma moeda para decidir que marca deve comprar pela primeira vez.    

Dados : P(A) = 0,50  ;   P(B) = 0,50  ;  P(A/FS) = 0,70;  P(B/FS)= 0,80 ; Pede-se P(FS/A3)

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