A VIBRAÇÃO SOB CONDIÇÕES FORÇANTES GERAIS
Por: Luiz Felipe de Azevedo • 8/11/2017 • Pesquisas Acadêmicas • 1.526 Palavras (7 Páginas) • 324 Visualizações
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE GOIÁS CÂMPUS GOIÂNIA
DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV
COORDENAÇÃO DA ÁREA DE MECÂNICA
VIBRAÇÃO DE SISTEMAS MECÂNICOS
VIBRAÇÃO SOB CONDIÇÕES FORÇANTES GERAIS: EXERCÍCIOS
(Grupo 6)
Alunos:
LUIZ FELIPE DE AZEVEDO PEREIRA
LEONARDO CAMBUIM
MATTEUS MESQUITA PAIVA
Professor:
EIDER LUCIO DE OLIVEIRA
GOIÂNIA
Março de 2017
1. Introdução
Este Trabalho tem por objetivo resolver dois exercícios sobre vibração sob condições forçantes gerais. Onde os mesmos serão desenvolvidos analiticamente e computacionalmente. Para o desenvolvimento analítico, sabe-se que a expansão por série de Fourier permite a descrição de qualquer função no domínio do tempo ou da frequência.
Segundo Rao (2008), Se a função forçante for periódica, mas não-harmônica a mesma pode ser substituída por uma soma de funções harmônicas por do meio do procedimento de análise harmônica. Utilizando o princípio da superposição, a resposta do sistema pode ser determinada pela superposição das respostas harmônicas individuais. Entretanto, se o sistema estiver sujeito a uma força não periódica exercida repentinamente, a resposta envolverá vibração transitória. Onde a resposta transitória de um sistema pode ser determinada utilizando o método das transformadas de Laplace.
2. Aspectos Teóricos
2.1. Resposta à força periódica geral
Segundo Rao (2008), quando a força externa ‘F(t)’ é periódica com o período , ela pode ser expandida em uma série de Fourier.[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
Onde é a frequência fundamental e , , , ..., , são coeficientes constantes. As Equações 2, 3 e 4 mostram os resultados separadamente para o cálculo dos coeficientes supracitados. [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
Desta forma a equação de movimento do sistema pode ser expressa como.
[pic 13]
[pic 14]
O lado direito dessa equação é uma constante mais uma soma de funções harmônicas. Pelo princípio da superposição, a solução em regime permanente da Equação 6 é a soma das soluções em regime permanente dos três casos a seguir.
Caso 1.
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Logo, substituindo as Equações 8, 9 e 10 na Equação 7 encontra-se o valor da solução de ‘x(t)’ que é mostrado na Equação 11.
[pic 19]
Caso 2.
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
Sabe-se que ‘X’ e ‘ϕ’ são constantes a determinar. ‘X’ e ‘ϕ’ denotam a amplitude e o ângulo de fase da resposta respectivamente. Substituindo as Equações 13, 14 e 15 na Equação 12, desenvolvendo assim as equações e fazendo as devidas substituições matemáticas a solução da equação 12 está expressa na equação 16.
[pic 24]
Onde a razão de frequências ‘r’, dado pela Equação 17 e o fator de amortecimento, , na Equação 18, substituindo na Equação 16.[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
Caso 3.
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
Substituindo as Equações 22, 23 e 24 na Equação 21, e seguindo de forma análoga que foi feito anteriormente, caso 2, e o no final substituindo o valor da razão de frequências no resultado, a solução está na Equação 25.
[pic 34]
Onde
[pic 35]
Dessa, forma a solução completa da Equação 6 para regime permanente é dado por
[pic 36]
De acordo com a Equação 23, percebe-se que a amplitude e o deslocamento de fase correspondentes ao n-ésimo termo dependem ‘n’ . Se ‘nω = ωn’ para qualquer ‘n’, a amplitude da harmônica correspondente será comparativamente grande. Isso será válido, em particular, para pequenos valores de ‘n’ e . Ademais, à medida que ‘n’ fica maior, a amplitude torna-se menor, e os termos correspondentes tendem a zero. Assim normalmente, alguns dos primeiros termos são suficientes para obter a resposta com precisão razoável. [pic 37]
2.2. Transformadas de Laplace
Segundo Rao (2008), o método da transformada de Laplace pode ser usado para determinar a resposta de um sistema a qualquer tipo de excitação incluindo os tipos harmônicos e periódico. Esse método pode ser usado para a solução eficiente de equações diferenciais lineares, em particular as quem têm coeficientes constantes. Ele permite a conversão de equações diferenciais em equações algébricas, que são mais fáceis de manipular. As principais vantagens do método são que ele pode tratar funções descontínuas sem qualquer dificuldade particular e que leva automaticamente em conta as condições iniciais.
De acordo com a equação do movimento de base, têm-se
[pic 38]
A transformada de Laplace da equação do movimento considerando as condições iniciais nulas.
[pic 39]
Algumas propriedades da de Laplace são importantes para o desenvolvimento das questões, abaixo estão listadas algumas de acordo com Rao (2008).
[pic 40]
[pic 41]
Tabela 1: Pares de Transformadas de Laplace
Domínio de Laplace | Domínio do tempo |
[pic 42] | [pic 43] |
[pic 44] | [pic 45] |
Ainda segundo Rao (2008), para resolver um problema de vibração usando o método da transformada de Laplace, são necessárias algumas etapas, são elas: Escreva a equação de movimento do sistema, Transforme cada termo da equação usando condições iniciais conhecidas, resolva para a resposta transformada do sistema, obtenha a solução desejada (resposta) usando transformação inversa de Laplace. Algumas outras propriedades e pares de transformadas de Laplace, além das que estão mostradas na Tabela 1, estão em anexo.
...