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A VIBRAÇÃO SOB CONDIÇÕES FORÇANTES GERAIS

Por:   •  8/11/2017  •  Pesquisas Acadêmicas  •  1.526 Palavras (7 Páginas)  •  9 Visualizações

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE GOIÁS CÂMPUS GOIÂNIA

DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV

COORDENAÇÃO DA ÁREA DE MECÂNICA

VIBRAÇÃO DE SISTEMAS MECÂNICOS

VIBRAÇÃO SOB CONDIÇÕES FORÇANTES GERAIS: EXERCÍCIOS

(Grupo 6)  

Alunos:

LUIZ FELIPE DE AZEVEDO PEREIRA

LEONARDO CAMBUIM

MATTEUS MESQUITA PAIVA

Professor:

EIDER LUCIO DE OLIVEIRA

GOIÂNIA

Março de 2017

1. Introdução

Este Trabalho tem por objetivo resolver dois exercícios sobre vibração sob condições forçantes gerais. Onde os mesmos serão desenvolvidos analiticamente e computacionalmente. Para o desenvolvimento analítico, sabe-se que a expansão por série de Fourier permite a descrição de qualquer função no domínio do tempo ou da frequência.

Segundo Rao (2008), Se a função forçante for periódica, mas não-harmônica a mesma pode ser substituída por uma soma de funções harmônicas por do meio do procedimento de análise harmônica. Utilizando o princípio da superposição, a resposta do sistema pode ser determinada pela superposição das respostas harmônicas individuais. Entretanto, se o sistema estiver sujeito a uma força não periódica exercida repentinamente, a resposta envolverá vibração transitória. Onde a resposta transitória de um sistema pode ser determinada utilizando o método das transformadas de Laplace.

 

2. Aspectos Teóricos

2.1. Resposta à força periódica geral

Segundo Rao (2008), quando a força externa ‘F(t)’ é periódica com o período  , ela pode ser expandida em uma série de Fourier.[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Onde   é a frequência fundamental e , , , ...,  ,  são coeficientes constantes. As Equações 2, 3 e 4 mostram os resultados separadamente para o cálculo dos coeficientes supracitados. [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Desta forma a equação de movimento do sistema pode ser expressa como.

[pic 13]

[pic 14]

O lado direito dessa equação é uma constante mais uma soma de funções harmônicas. Pelo princípio da superposição, a solução em regime permanente da Equação 6 é a soma das soluções em regime permanente dos três casos a seguir.

Caso 1.

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Logo, substituindo as Equações 8, 9 e 10 na Equação 7 encontra-se o valor da solução de ‘x(t)’ que é mostrado na Equação 11.

[pic 19]

Caso 2.

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Sabe-se que ‘X’ e ‘ϕ’ são constantes a determinar. ‘X’ e ‘ϕ’ denotam a amplitude e o ângulo de fase da resposta respectivamente. Substituindo as Equações 13, 14 e 15 na Equação 12, desenvolvendo assim as equações e fazendo as devidas substituições matemáticas a solução da equação 12 está expressa na equação 16.

[pic 24]

Onde a razão de frequências ‘r’, dado pela Equação 17 e o fator de amortecimento, , na Equação 18, substituindo na Equação 16.[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

 

[pic 29]

Caso 3.

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

        Substituindo as Equações 22, 23 e 24 na Equação 21, e seguindo de forma análoga que foi feito anteriormente, caso 2, e o no final substituindo o valor da razão de frequências no resultado, a solução está na Equação 25.

[pic 34]

        Onde

[pic 35]

        Dessa, forma a solução completa da Equação 6 para regime permanente é dado por

[pic 36]

        De acordo com a Equação 23, percebe-se que a amplitude e o deslocamento de fase correspondentes ao n-ésimo termo dependem ‘n’ . Se ‘nω = ωn para qualquer ‘n’, a amplitude da harmônica correspondente será comparativamente grande. Isso será válido, em particular, para pequenos valores de ‘n’ e . Ademais, à medida que ‘n’ fica maior, a amplitude torna-se menor, e os termos correspondentes tendem a zero. Assim normalmente, alguns dos primeiros termos são suficientes para obter a resposta com precisão razoável. [pic 37]

...

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