A definição ε-δ de limite

Definição formal

A definição ε-δ de limite.

O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (excepto possivelmente a) e seja A um número real. A expressão

significa que qualquer que seja existe um tal que para todo x, satisfazendo , vale . OU, usando a notação simbólica:

Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada por Cauchy:

um limite A dado pela fórmula:

onde A é o valor do qual difere o valor de f(x) a menos de um valor ε (epsilon) maior que zero se o valor de x diferir de a por um valor menor que o valor δ (delta) maior que zero e função de ε (δ = f(ε))

Exemplo: Sendo uma função f definida por: f(x) = 2x + 1 nos Reais, calcular o limite da função f quando x - > 1. Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f(x) descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Propriedade dos Limites

1º Propriedade, Soma: O limite da soma de funções é equivalente a soma dos limites.

Lim [ f(x) + g(x) ] =

X  C

Lim f(x) + Lim g(x)

X  C X  C

Exemplo: Lim ( X + X)

X  2

Equivale:

Lim X + Lim X * X e X são polinômios, o domínio é Real, vale qualquer valor real.

X  2 X  2 * Então, substitui o tendendo a 2 na função.

Então:

= 2 + 2 = 6

2º Propriedade, Subtração: equivalente a soma dos limites.

Lim [ f(x) – g(x) ]

X  C

Lim f(x) - Lim g(x)

X  C X  C

Exemplo: Lim ( X - X)

X  (-1)

Equivale:

Lim X - Lim X * X e X são polinômios, o domínio é Real, vale qualquer valor real.

X  (-1) X  (-1) * Então, -1 é real, pode substituir!

(-1) - (-1) =

1 + 1 = 2

3º Propriedade, Produto (Multiplicação): O limite do produto, é o produto dos limites.

Lim [ f(x) . g(x) ]

X  C

[ Lim f(x) ] . [ Lim g(x) ]

X  C X  C

Exemplo: Lim [ (X + X) . (X - X) ]

X  2

Aplicando propriedade Soma: Aplicando propriedade Subtração:

Lim (X + X) Lim (X - X)

X  2 X  2

Lim X + Lim X Lim X - Lim X

X  2 X  2 X  2 X  2

(2 + 2) . (2 -2) =

6 . 2 = 12

4º Propriedade:.

Lim [ K . f(x) ]

X  C

[ Lim K ] . [ Lim f(x) ] = K. Lim f(x)

X  C X  C X  C

Exemplo: Lim [ 9. (X + 1) ]

X  2

[Lim 9] . [Lim X + Lim 1]

X  2 X  2 ---- 9. (4+1) = 45

5º Propriedade, Constante: O limite da constante é a própria constante, ou seja, o limite de um número é sempre ele mesmo.

Lim K = C

X  C

Representação da função constante K

Y

K

C X

Exemplo:

Lim 100 = 100

X  3

6º Propriedade, Limite do Quociente: O limite do quociente é o quociente dos limites.

Lim