A regra de três quantidades simples e complexas

Regra de Três Simples e Composta

1- Introdução

Os problemas da regra de três lidam com grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Dados três valores (daí o nome regra de três) devemos encontrar um quarto valor desconhecido.

2 - Regra de três simples

2.1 - Direta

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Exemplo 1:

Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:

Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm)

10 54

15 X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:

10

________________________________________15

54

________________________________________X

10 X = 54 . 15

10 X = 810

X = 810/10

X = 81 cm

Exemplo 2:

Um automóvel percorre 120 km com 10 litros de combustível. Quantos litros de combustível esse automóvel gastaria para percorrer 200 km?

120/200=10/x → 120x=10.200 → x=2000/120 → x=16,66

2.1 - Inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Exemplo1:

Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos:

Velocidade (Km/h) Tempo (s)

180 20

200 T

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

180/200=T/20

180 . 20 = T . 200

3600 / 200 = T

T = 180 s

Exemplo2:

Um ônibus com velocidade média de 60 km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo ele levará, se aumentar a velocidade média para 90 km/h?

60/90=x/3

90x=3 .60

x=180/90

x=2h

3 - Regra de três composta

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ..., Z1 são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ...Z2 são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grand... Grandeza ?

Situação 1 A1 B1 C1 … Z1

Situação 2 A2 B2 C2 … Z2

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Z1

________________________________________Z2 = A1 • B1 • C1 • D1 • E1 • F1 …

________________________________________A2 • B2 • C2 • D2 • E2 • F2 …

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

Z1

________________________________________Z2 = A1 • B2 • C1 • D1 • E1 • F1 …

________________________________________A2 • B1 • C2 • D2 • E2 • F2 …

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos