APLICAÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA

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APLICAÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA

Alan Lemos Amaral

Arthur Musse

Bruno Henrique

Francisco Italo

Igor Fortuna

José Romário

        Para que servem os métodos numéricos?

        O mundo funciona a base de um sistema repleto de incertezas, é possível observar isso através das variações climáticas ou da frequência incerta de alguns eventos. Essas incertezas podem ser nomeadas de variáveis e a ciência age na intenção de determinar um padrão ou encontrar a resposta para essas incógnitas de forma exata ou mais aproximada possível.[pic 2]

Os estudos dos eventos físicos levam a formulações matemáticas. Diante da natureza irregular dos eventos, essas formulações muitas vezes recaem em equações não lineares ou em um conjunto enorme de incógnitas. Dessa forma surge a importância dos métodos numéricos. [pic 3]

        Os métodos numéricos têm aplicação na solução de diversos problemas. Aplicados principalmente de forma computacional, nos ajudam a prever o clima, entender o comportamento de estruturas, encontrar meios de economizar.

 A variedade de aplicações é grande e abrange diversas áreas de conhecimento. Na construção civil não é diferente. A seguir serão apresentados alguns exemplos da aplicação dos métodos para engenharia, apresentados de forma comparativa a fim de abranger boa parte dos métodos aplicados computacionalmente.[pic 4]

Métodos a serem aplicados        

Métodos de confinamento:

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Métodos abertos:

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pP

Sistemas Lineares:

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                                 _                                              Programação

        Os métodos são mais aplicáveis quando desenvolvidos em um programa, facilitando seus empregos e agilizando as etapas de resolução. Portanto, é importante o estudo da lógica computacional para implementar o cálculo numérico.

        O seguinte diagrama de fluxo generaliza o funcionamento dos programas de iteração para refinamento da aproximação inicial, utilizados para os cinco primeiros métodos.

        Inicia-se com a entrada de dados, daí os cálculos são feitos de acordo com cada método.[pic 12]

        Os critérios de parada e os limites de erro definidos formam as condições da programação, que repete o loop de operações até que os critérios sejam satisfeitos.

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        Inúmeras plataformas permitem o emprego dos métodos numéricos. Para as aplicações a serem apresentadas foi escolhido o MatLab, pela sua facilidade de trabalho, grande leque de possibilidades de aplicação e por está obviamente inserido no contexto matemático.

Trânsito                

     O engenheiro de trânsito estuda a logística e a organização espacial dos meios de transportes e é responsável pelo projetos das vias, cálculo do tempo semafórico, dentre outros, cumprindo um papel fundamental para o funcionamento da sociedade.[pic 14]

    Porém, diversas vezes o engenheiro se depara com matrizes gigantescas para resolver esses problemas de mobilidade urbana, como saber a média de veículos por hora que passam por um cruzamento, para possibilitar fazer planejamentos futuros. Para isso, os métodos numéricos computacionais se tornam fiéis companheiras do engenheiro responsável.

     A seguir veremos uma aplicação da qual o responsável terá que desfrutar desses métodos para resolver seu problema.

Exemplo:

Em determinada região de uma cidade A, um cruzamento com dois conjuntos de ruas de mão única se cruzam conforme a figura 1. A média do número de veículos por hora de quem entra e sai dessa seção durante o horário de “rush” é dada no desenho. Determine a quantidade de veículos entre cada um dos cruzamentos.

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Solução        

        Como solução desse problema toma-se que, em cada cruzamento, o número de veículos que entra deve ser igual ao número que sai. Por exemplo, no cruzamento A, o número de veículos que entra é  x1 + 450 e o número de veículos que sai é x2 + 610. Logo:

x1 + 450 = x2 + 610 (cruzamento A)

Analogamente:

x2 + 520 = x3+ 480 (cruzamento B)

x3+ 390 = x4 + 600 (cruzamento C)

x4+ 640 = x1 + 310 (cruzamento D)

Têm-se então, o sistema:

x1 - x2 = 160

x2 - x3 = - 40

x3 - x4 = 210

x4 - x1 = - 330

Para resolução desse sistema linear encontrado na questão, podemos utilizar alguns dos métodos numéricos conhecidos, como o da eliminação de Gauss (escalonamento), decomposição em LU por Crout. Contudo, o método do escalonamento se torna o mais eficaz para o engenheiro fazer o cálculo à mão, pois conseguimos encontrar a resposta em apenas duas interações.

Método de Gauss

Para o método de Gauss, encontramos a matriz aumentada do sistema:

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Após escalonar, temos:

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Assim, chegamos solução geral do sistema: (330 + x4, 170 + x4, 210 + x4, x4).

Fatoração LU por Crout

        Para o método de LU e de crout, temos a matriz A (tirada do sistema), a matriz B, a matriz X, a matriz U (triangular superior obtida pelo escalonamento) e a matriz L (triangular inferior, obtida através dos multiplicadores da matriz U):

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        Após fazer todos os processos do método, encontramos a mesma solução geral. Como encontramos uma solução com uma variável livre, existem infinitas soluções, pois no fluxograma (Figura 1) não possui todas as informações suficientes para determinar x1, x2, x3, x4. Sendo assim, basta que saibamos qualquer número de veículos entre dois cruzamentos e o tráfego nos outros cruzamento estará determinado. Por exemplo, se uma média de 200 carros trafegam por hora entre os cruzamentos C e D, então x4 = 200. Logo encontraremos os valores de x1, x2 e x3 em função de x4, obtendo x1 = 530, x2 = 370, x3 = 410.