Aplicação das integrais na engenharia e na física

FACULDADE FASIPE

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

HELEN ZATT VALANDRO

TRABALHO SOBRE AS APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS NA ENGENHARIA E NA FISICA

04 de abril de 2017

Sinop, MT

Trabalho feito na exigência da Disciplina de Cálculo Diferencial II do 3º semestre Noturno do Curso de Engenharia Civil da FASIPE, como requisito parcial de nota.

Sob orientação do Prof. Faber dos Santos.

Sumário

1.        INTRODUÇÃO        3

2.        APLICAÇÕES DE INTEGRAIS NA FÍSICA        4

2.1        Força resultante de uma carga sobre uma superfície.        4

2.2        Exemplo 01: Localização da Força Resultante        4

2.3        Exemplo 02: Momento de uma força em relação a um eixo.        5

2.4        Exemplo 03: Momento de Inércia.        7

3.        APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS EM ENGENHARIA        8

3.1        Exemplo 01: MOMENTO FLETOR        8

3.2        Exemplo 02:        10

3.3        Exemplo 03: Dando continuidade ao exemplo 02, Para a determinação dos momentos de primeira ordem serão utilizadas as equações        10

4.        CONCLUSÃO        12

5.        BIBLIOGRAFIA        13

1. INTRODUÇÃO

A integral é uma das bases das Engenharias, com ela conseguimos resolver vários problemas principalmente no campo da Engenharia e da Física. Originalmente, porém, a integral definida tem sua definição baseada num cálculo de áreas (na verdade num cálculo de infinitas áreas). Quando se toma o limite da soma dessas áreas tem-se a definição de integral definida. A integração talvez seja a ferramenta do cálculo que seja aplicada em mais situações, principalmente relacionadas á essas áreas. A integração consiste em um somatório de parcelas muito pequenas. Em um contexto físico, essa soma tem aplicações na determinação de algumas grandezas de interesse, inclusive, para a engenharia. Utiliza-se aqui o sistema de coordenadas cartesianas x, y, z. Mostraremos algumas aplicações das integrais na Engenharia e na Física.

1. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS NA FÍSICA

1. Força resultante de uma carga sobre uma superfície.

Quando se deseja calcular a força resultante de um carregamento sobre uma superfície basta que se multiplique a carga superficial a qual o material é submetido pela área de aplicação da carga. Nos casos, como dentro de um reservatório de água, a carga aplicada sobre a superfície é variável dependendo do ponto de aplicação, dessa forma segue o processo de integração para solução do problema, realizando o somatório das forças aplicadas sobre cada ponto infinitesimal. Tem-se:

[pic 1]

1. Exemplo 01: Localização da Força Resultante

A localização da linha de ação da força resultante em relação ao eixo x pode ser determinada pela equação de momentos da força resultante e da distribuição de forças em relação ao ponto O. A força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centróide da área definida pelo diagrama de carregamento.[pic 2]

Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo mostrado na figura.

[pic 3]

Solução:

[pic 4][pic 5]

1. Exemplo 02: Momento de uma força em relação a um eixo.

Quando um sólido é fixado em um eixo de referência e uma carga mecânica é aplicada sobre esse, a carga tende a rotacionar o sólido ao redor do eixo. O momento de uma força é definido como o produto entre a força que atua perpendicularmente a superfície e a distância entre o ponto de aplicação e o eixo. Realizando-se a integração da função que determina o carregamento pela superfície que sofre ação da carga, determinamos o momento da força em relação a um eixo.

Exercício: A porta lateral do tanque é articulada na borda inferior. Uma pressão de 100 lbf/ft2 (manométrica) é aplicada na superfície livre do líquido. Determine a força Ft necessária para manter a porta fechada.

[pic 6]

Solução: Aplicando os momentos em relação ao eixo x da articulação, temos:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Este problema ilustrou a inclusão da pressão manométrica diferente de zero na superfície livre do líquido e o emprego direto do momento distribuído sem a avaliação da força resultante e sua linha de ação em separado.

1. Exemplo 03: Momento de Inércia.

O momento de inércia é uma grandeza física que mede a distribuição da massa de um corpo em relação a um eixo. Quanto mais distribuída nas proximidades do eixo, mais difícil é para se rotacionar o sólido ao redor do mesmo. A expressão para o momento de inércia de uma partícula que rotaciona a uma distância R de um eixo z é:

[pic 10]

Exercício: Determinação dos Momentos de Inércia por Integração Dupla

[pic 11]

1. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS EM ENGENHARIA

1. Exemplo 01: MOMENTO FLETOR

É a resultante momento de todas as forças e momentos de uma porção isolada sobre a outra porção na direção transversal ao eixo da barra na seção transversal de corte. O momento fletor representa a soma algébrica dos momentos relativas a seção YX, contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal. Produzindo esforço que tende a curvar o eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e compressão na estrutura. Em engenharias e denomina flexão ao tipo de deformação que apresenta um elemento estrutural alongado em uma direção perpendicular ao seu eixo longitudinal. O termo "alongado" se aplica quando uma dimensão que é dominante frente às outras. Um caso típico são as vigas, as que estão projetadas para trabalhar, principalmente, por flexão. Igualmente, o conceito de flexão se estende a elementos estruturais superficiais como placas ou lâminas.

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