As Folhas de Apoio da disciplina de Teoria dos Sinais e dos Sistemas

         Figura 1: O plano complexo. 

PLANO COMPLEXO         Na Figura 1 vêm ilustradas as representações cartesiana e polar para o número complexo z. Esta

DIAGRAMA  - ARGAND         plano complexo (ou diagrama representação geométrica dos números complexos é conhecida por

FÓRMULA DE EULER         de Argand). Através da Figura 1, ou usando a fórmula de Euler,

                  e jθ= cosθ+ jsinθ,         (3)

         as relações entre as representações cartesiana e polar são

POLAR→CARTESIANA                   a = rcosθ b = rsinθ,         (4)

CARTESIANA→POLAR         r = a2 +b2 θ= arctan b .         (5) [pic 2][pic 3]

 a

1. Complexo Conjugado

         O complexo conjugado de z é designado por z* e é dado por  

COMPLEXO         ∗        a        jb        re jθ .         (6)

CONJUGADO                  z = − =

1. Adição, Multiplicação e Divisão

 Sejam os números complexos z1 = a1 + jb1 e z2 = a2 + jb2. Para a adição de complexos temos de  usar a representação cartesiana.,  

ADIÇÃO                  z1 + =z2        (a1 + jb1)+(a2 + jb2) =(a1 +a2)+ j(b1 +b2) .         (7)

Para a multiplicação e a divisão, ambas as representações são possíveis para obter o resultado. Na

         forma cartesiana, temos que

MULTIPLICAÇÃO                  z z1 2 =(a1 + jb1)(a2 + jb2) =(a a1 2 −bb1 2)+ j(a b1 2 +b a1 2) ,

         z1        a1 + jb1        (a1 + jb1)(a2 − jb2)        (a a1 2 +bb1 2)+ j(−a b1 2 +b a1 2)

DIVISÃO                  =        =        =        a22 +b22        .          z2        a2 + jb2        (a2 + jb2)(a2 − jb2)[pic 4]

         Na forma polar o resultado é imediato. Sendo z1 = r1ejθ1 e z2 = r2ejθ2 , vem

MULTIPLICAÇÃO                  z z1 2 = re1 jθ1r e2 jθ2 = rr e1 2 j(θ1+θ2) ,

         z12        re21 jjθθ12        rr12 e j(θ1−θ2) . [pic 5]

                 =        =

DIVISÃO         z        r e

        Relações Úteis

(8) (9)

(10)

(11)

         Usando a definição de complexo conjugado (6), temos algumas relações úteis:

 RELAÇÕES ÚTEIS         * r2 ,          zz =

                  z + =z*        2Re[ ]z ,

(12)

(13)

FORMA CARTESIANA 

PARTES REAL E  

IMAGINÁRIA 

FORMA POLAR 

MÓDULO E  FASE 

Seja um número complexo z, que expresso na forma cartesiana (rectangular ou algébrica) vem

         z = a + jb ,

onde j = −1 ,  a = Re[z] é a parte real de z e b = Im[z] é a parte imaginária de z, [pic 7]

Na forma polar, o número complexo z vem

         z = re jθ, onde r > 0 é o módulo de z , r = |z|, e θ = arg[z] é o ângulo (ou fase) de z.

(1)

(2)