Atps Calculo Numerico 1 Sementre Eng Civil

Passo 1

A aparição histórica de sistemas de equações lineares tem indícios no Egito com os

problemas algébricos e na Mesopotâmia quando “num texto da Babilônia antiga achamos

duas equações lineares simultâneas em duas incógnitas” (BOYER, 2010, p. 11). As equações

lineares eram também um dos tópicos favoritos dos hindus (BOYER, 2010, p. 152).

Segundo Fernandes e Miyasaki (2011), no livro “Chiu-Chang Suan-Chu (Nove

Capítulos sobre Aritmética)”, há registro de um problema modelado por sistemas lineares em

250 a.C. que retrata um episódio de produção e comércio agrícola, como segue:

Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre, e um

fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos de boa,

três da medíocre, e um da ruim foram vendidos a 34 dou; e uma boa, dois da

medíocre, e três da ruim foram vendidos a 26. Qual o preço recebido pela

venda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita

ruim? (FERNANDES e MIYASAKI, 2011 apud PEREIRA e HAFFNER,

Em 1750, Gabriel Cramer (1704-1752) publicou a conhecida regra de Cramer que

permite a resolução de um sistema linear a partir dos coeficientes das incógnitas e dos termos

Independentes das incógnitas. Tal regra provavelmente já era conhecida por Maclaurin desde

1729 (BOYER, 2010. p. 297).

As compilações de Etienne Bézout (1730-1783) tornaram amplamente conhecidos os

progressos matemáticos de Euler e d´Alembert. Bézout também teve importante participação

no uso de determinantes de eliminação algébrica. Apresentou regras semelhantes às de

Cramer, para resolver n equações lineares simultâneas em n incógnitas. Expandiu dessas a um

sistema de equações em uma ou mais incógnitas, onde se almeja condições necessárias sobre

os coeficientes para que as equações tenham solução comum. Euler, menos extensamente que

Bezóut, também contribuiu para a teoria da eliminação (BOYER, 2010. p. 321).

O método de eliminação de Gauss era conhecido pelos chineses no terceiro século

a.C., mas carrega o nome de Gauss por causa de sua redescoberta em um artigo no

qual ele resolveu um sistema de equações lineares para descrever a órbita de um

asteróide. (FERNANDES e MIYASAKI, 2011 – apud POOLE, 2004, p. 70).

Os métodos iterativos de resolução são técnicas frequentemente utilizadas para

sistemas de médio e grande porte. Métodos clássicos como Jacobi e Gauss-Seidel datam do

final do século XVIII.

Definições

Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.

Exemplos:

x + y + z = 20

2x –3y + 5z = 6

4x + 5y – 10z = –3

x – 4y – z = 0

Sistema Linear

Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.

Exemplos:

x + y = 3

x – y = 1

Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24

x – y + 10z = 30

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120

4x – 2y – 20z = 60

–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10

2x + 3y + 5z – 2w = 21

4x – 2y – z + w = 16

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.

Solução de um sistema linear

Dado o sistema:

x + y =

x – y = 1

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:

x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3

2 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema:

2x + 2y + 2z = 20

2x – 2y + 2z = 8

2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20

2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8

2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0

Classificação de um sistema