COMENTE AS DIFERENÇAS DOS MÉTODOS ANALÍTICOS E NUMÉRICOS. DE EXEMPLOS

5. COMENTE AS DIFERENÇAS DOS MÉTODOS ANALÍTICOS E NUMÉRICOS. DE EXEMPLOS

Um método analítico é, em geral um método de análise científica que consiste em resolver um problema através de um procedimento bem definido de cálculo que utiliza artifícios como frações parciais, substituição, partes etc., para chegar na resposta exata do problema.

Em se tratando de métodos numéricos, o objetivo deste campo é projetar e analisar técnicas para encontrar soluções aproximadas, porém precisas, para problemas complexos cuja multiplicidade de variáveis não permite a resolução por meio analítico.

Exemplos de métodos numéricos: Diferenças finitas, elementos finitos, volumes finitos. Importante destacar que, por se tratar de um artifício de aproximação de resultados, o método numérico gera erro, o que faz necessário uma análise de convergência do resultado, fazendo com que algumas vezes o método analítico seja utilizado como nível de comparação.

6.

O QUE DIFERENCIA UMA SOLUÇÃO POR DIFERENÇAS FINITAS EXPLICITA PRA UM PROBLEMA DE CONUÇÃO DE CALOR TRANSIENTE DE UMA SOLUÇÃO IMPLÍCITA?

Os nós e os volumes elementares, em problemas de condução de calor transiente, são selecionados como no caso do regime estacionário e novamente assume-se que toda a transferência de calor é feita para o elemento. Por conveniência, o balanço de energia num volume elementar, durante um intervalo de tempo (delta_t), pode ser expresso como:

[pic 1]

Partindo do problema de condução de calor, como se pede:

[pic 2] 

Observando

Basicamente a diferença entre estes esquemas é com relação a estabilidade numérica e ao esforço computacional para resolve-los. A diferença fundamental entre as aproximações explícita e implícita está representada pela figura abaixo. Para a forma explícita, a derivada espacial é aproximada no nível anterior “n” de tempo. Para a forma implícita, a derivada espacial é aproximada em um nível de tempo avançado, “n+1” (Desenhem a figura na mão)

[pic 3]        [pic 4]

1. Explícita                                        b)  Implícita

Assim, no problema de condução de calor transiente, o método explícito se caracteriza por ser simples e instável, indo de pontos gerais até uma solução particular, enquanto o método implícito é mais completo e estável, indo do particular para o geral.

Observando a priori apenas o gráfico de nós gerada pelo método explícito, aproxima-se numericamente o termo para condução de calor da temperatura em relação ao espaço:

 

[pic 5]

Desta feita, cabe também a aproximação numérica da primeira derivada da temperatura em relação ao tempo:

[pic 6]

Em suma, têm-se a seguinte equação:

[pic 7]

Analogamente, para o método implícito:

[pic 8]

O QUE CARACTERIZA UM MÉTODO DE DIFERENÇA FINITA IMPLÍCITO COMO INCONDICIONALMENTE ESTÁVEL?

A caracteristica de “incondicionalmente estável” é dada somente para o método implícito pelo fato de a solução permanecer estável para todo o espaço e intervalos de tempo, caso em que não existem restrições em  delta_x e  delta_t. Portanto, pode-se usar qualquer passo de tempo que quisermos com este método, com a desvantagem de que o método implícito resulta em um conjunto de equações que devem ser resolvidas simultaneamente para cada passo de tempo, ou seja, mais caro computacionalmente.