Calculo 2

RESUMO: O estudo realizado em grupo para resolver os desafios propostos na Atividade Prática Supervisionada atingiu o objetivo por aprimorar o aprendizado por meio de tais exercícios, fazendo valer os pontos propostos como objetivo da metodologia aplicada.

DESAFIO.

ETAPA nº3.

Aula tema: Aplicações de Derivada

Essa etapa é importante para que o aluno saiba utilizar técnicas de cálculo, que se aplicam a uma grande variedade de problemas da vida real.

Para realiza-la, é importante seguir os passos descritos.

1.1-Passo 1:

Faça a leitura do capítulo 4 – seção 4.1 do PLT pesquise e elabore um texto explicativo sobre os máximos locais, mínimo local e pontos de inflexão de uma determinada função.

Resposta: Uma vez descoberto onde uma função é crescente e onde ela é decrescente, podemos localizar seus pontos de máximos e mínimos locais. Para obter pontos de Máximo ou de Mínimo de uma função, basta construir os gráficos das funções e identificar tais pontos. A dificuldade em construir gráficos de muitas funções é considerada o problema, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar nossas vidas.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contido no domínio

Definição: Dada uma função f, seja c ∈ D(f)

f possui um máximo local em c se existe um intervalo aberto I contendo c, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x em I ∩ D(f).

f possui um mínimo local em c se existe um intervalo aberto I contendo c, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x em I ∩ D(f).

Se f possui um máximo ou mínimo local em c, dizemos que f possui um extremo local em c.

Usa-se o termo local porque fixamos a nossa atenção em um intervalo aberto suficientemente pequeno contendo c tal que f tome seu maior (ou menor) valor em c. Fora deste intervalo aberto, f pode assumir valores maiores (ou menores). Às vezes usa-se o termo relativo em vez de local.

Exemplos: 1) f(x) = x3 – 3x2 + 5

Gráfico - 1

Gráfico - 2

Condição necessária para extremos locais (Teorema de Fermat)

Seja f uma função definida em um intervalo ]a,b[ e c∈ ]a,b[ . Se f tem um extremo local em c e existe f´(c) então f´(c) = 0.

D] Supondo que f tem um máximo local em c, então existe um intervalo aberto I, c ∈ I;

f(c) ≥ f(x), ∀ x ∈ I ∩ ]a,b[ ⇒ f(x) – f(c) ≤ 0, ∀ x ∈ I ∩ ]a,b[.

Por hipótese, existe f´(c), logo:

Se f tem um mínimo local em c a demonstração é análoga.

Observações:

Se f tem um extremo local em c e existe f ′(c) então, pelo teorema de Fermat, o gráfico de f tem uma tangente horizontal em (c,f(c)).

2) Se f ′(c) = 0 então f pode ter ou não um extremo local em c.

Considere f(x) = x3, f´(x) = 3x2 logo, f´(0) = 0. Mas, f não tem um extremo local em x=0 (ver gráfico 3).

Gráfico – 3

3) Se não existe f (c) então f pode ter ou não um extremo local em x = c.

Exemplo1: f(x) = |x| . Não existe f´(0) e f tem um mínimo em x = 0 (ver gráfico 4)

Gráfico - 4 Gráfico - 5

Definição: Dada uma função f definida em um intervalo [a,b] e seja c ∈ ]a,b[, dizemos que c é um número crítico ou ponto crítico para f quando f´(c) = 0 ou f '(c) não existe.

Os pontos críticos são “candidatos” a pontos nos quais f tem extremo local; entretanto, cada ponto crítico deve ser testado para verificar se é ou não extremo local de f.

Teorema do Valor Máximo (Karl Weierstrass)

Se f é uma função contínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e também o seu valor mínimo m, no intervalo

[a,b]. Isto é o mesmo que garantir a existência de valores x1 e x2 em [a,b] tal que para todo x em [a,b]: f(x1) = m < f(x) < M = f(x2)

Observações e exemplos:

1. O critério da primeira derivada e o Teorema do Valor Máximo garantem que para um ponto ser extremo de uma função derivável no intervalo fechado [a,b], tais pontos serão as extremidades x=a e x=b ou os pontos x de (a,b) para os quais f '(x)=0. Tais pontos de extremo nem sempre são detectados com o critério da primeira derivada.

2. Se a função é contínua mas não é derivável em um ponto x=c, podemos estudar o extremo da função neste ponto onde não existe a derivada de f, pois ocorre a formação de um "bico" no gráfico de f ou existe uma tangente vertical ao gráfico de f neste ponto.

3. A função modular f(x)=|x| definida sobre S=[-1,1] possui um ponto crítico em x=0, que é um ponto de S em que não existe a derivada de f.

Gráfico - 6

4- f(x)=sen(x) definida sobre [-,], possui máximo em x=- e x=/2 e mínimo em x=-/2 e x= .

Gráfico - 7

5- f(x)=1/x definida sobre S=(0,1], tem um ponto de mínimo em x=1,