Calculo Volume Área Entre Curvas
Por: matheuskodi • 11/5/2022 • Exam • 664 Palavras (3 Páginas) • 100 Visualizações
MeuGuru
Trabalho de cálculo 3.
- Determine se as seguintes séries convergem ou divergem
a)
[pic 1]
Resposta:
Para a resolução deste exemplo usaremos o teste da razão
Caso , então é convergente[pic 2][pic 3]
Caso , então é divergente[pic 4][pic 5]
Se , então o teste é inconclusivo[pic 6]
[pic 7]
Agora vamos calcular o seguinte limite
[pic 8]
[pic 9]
Podemos usar a seguinte substituição
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
Colocando no limite
[pic 13]
[pic 14]
Dividindo todos os termos por [pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Aplicando propriedade dos limites
[pic 18]
Então
[pic 19]
Como então, a série diverge.[pic 20]
b)
[pic 21]
Resposta:
Para a resolução deste exemplo usaremos o teste da razão
Caso , então é convergente[pic 22][pic 23]
Caso , então é divergente[pic 24][pic 25]
Se , então o teste é inconclusivo[pic 26]
[pic 27]
Agora vamos calcular o seguinte limite
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
Aplicando no limite
[pic 32]
[pic 33]
Dividindo todos os termos por [pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
Se tende ao infinito então tende a zero[pic 37][pic 38]
[pic 39]
Como , então a série converge.[pic 40]
c)
[pic 41]
Resposta:
Para este exemplo usaremos o teste da série alternada
Os dois requisitos para a série ser convergente são
1. é positiva e monotônica decrescente[pic 42]
2. [pic 43]
A série pode ser reescrita como
[pic 44]
Então
[pic 45]
Calculando o limite
[pic 46]
[pic 47]
Propriedades dos expoentes
[pic 48]
[pic 49]
Regra dos logaritmos
[pic 50]
[pic 51]
Aplicando regra da cadeia do limite
, e e é continuo em [pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]
Então [pic 56]
Para o nosso exemplo, temos
[pic 57]
[pic 58]
Se o argumento de tende a zero, tenderá ao menos infinito[pic 59][pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
Segundo limite
[pic 63]
Qualquer numero elevado a menos infinito tende a zero
[pic 64]
[pic 65]
Sendo assim, a série converge
d)
[pic 66]
Resposta:
Usaremos o teste da divergência
Se então é divergente[pic 67][pic 68]
Aplicando no limite
[pic 69]
Dividir todos os termos pelo denominador de maior potência
[pic 70]
[pic 71]
Como tende ao infinito, então todos os termos que tem no denominador tenderá a zero[pic 72][pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
Sendo assim e a série diverge.[pic 76]
e)
[pic 77]
Resposta:
Aplicando o teste da razão
Caso , então é convergente[pic 78][pic 79]
Caso , então é divergente[pic 80][pic 81]
Se , então o teste é inconclusivo[pic 82]
[pic 83]
Agora vamos calcular o seguinte limite
[pic 84]
[pic 85]
[pic 86]
Aplicando no limite
[pic 87]
[pic 88]
Dividindo todos os termos por [pic 89]
[pic 90]
[pic 91]
Como tende ao infinito o limite vale 1[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
Como a série é convergente.[pic 95]
f)
[pic 96]
Resposta:
Neste este exemplo aplicaremos o teste da comparação
Primeiro vamos analisar o numerador, varia para valores positivos de 0 a 1[pic 97]
Então se converge, a série converge[pic 98]
[pic 99]
Aplicando o teste da p-série
Se [pic 100]
Com a série diverge[pic 101]
Com a série converge[pic 102]
Para o nosso exemplo então, a série converge[pic 103]
- Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências
a)
[pic 104]
Resposta:
Usando o teste da razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência
Caso , então é convergente[pic 105][pic 106]
[pic 107]
Agora vamos calcular o seguinte limite
[pic 108]
[pic 109]
[pic 110]
Aplicando no limite
[pic 111]
[pic 112]
[pic 113]
[pic 114]
[pic 115]
[pic 116]
Sendo assim, o raio de convergência é
[pic 117]
[pic 118]
Então o raio de convergência é [pic 119]
E o intervalo de convergência
[pic 120]
b)
[pic 121]
Resposta:
Usando o teste da razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência
Caso , então é convergente[pic 122][pic 123]
[pic 124]
Agora vamos calcular o seguinte limite
[pic 125]
[pic 126]
[pic 127]
Aplicando no limite
[pic 128]
[pic 129]
Dividindo todos os termos por [pic 130]
[pic 131]
[pic 132]
[pic 133]
Então o raio de convergência é dado por
[pic 134]
[pic 135]
Encontrando o intervalo de convergência
...