Controle Calha e Bola

CONSTRUÇÃO, MODELAGEM E CONTROLE DE UM SISTEMA CALHA E BOLA.

Guilherme Rodrigues, Rodolpho Fonseca

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais

Rua Alvares de Azevedo, 400, Divinopolis, MG

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Resumo O presente relatório apresenta a metodologia empregada na construção, modelagem, validação e controle de um sistema calha e bola. Que se trata de um problema de controle de características não lineares e de dinâmica bastante rápida. A modelagem do sistema foi feita em caixa branca e dois tipos de controladores foram projetados sobre o modelo, sendo um avanço por lugar das raízes e o outro avanço pela frequência, que atendesse as características de desempenhos requeridas.

Palavras-chave: Calha e Bola, Modelagem, Controle, Avanço.

1 Introdução

Um sistema calha e bola é um sistema muito popular no meio acadêmico, devido a sua não linearidade e comportamento de segunda ordem (SOUZA, 2016). Além disso, sua facilidade de construção e desenvolvimento favorece seu uso em plantas didáticas.

O sistema é composto de uma calha construída com duas hastes de alumínio conectadas entre si por uma peça confeccionada utilizando a técnica de impressão 3D afim de que se forme uma superfície na qual a bola possa rolar livremente. A bola em questão usada é a mesma utilizada na prática de tênis de mesa, devida ao seu baixo preço e a disponibilidade no mercado. A estrutura mecânica foi construída com MDF, também devido ao seu baixo preço e a facilidade no trabalho com o mesmo, tal como corte, furação, etc.

Esse trabalho tem como objetivo, construir, modelar e controlar tal sistema por dois métodos diferentes vistos na matéria de Teoria de Controle, discutindo-se os resultados obtidos.

Ao longo do trabalho, serão discutidas as metodologias de modelagem do sistema e implementação dos controladores projetados. Os resultados experimentais obtidos comprovam a eficiência das técnicas estudadas na disciplina.

Figura 1- Desenho esquemático de um Calha e Bola

2 Modelagem Dinâmica

Considerando o sistema Calha e Bola da figura 1, definiu-se que a modelagem seria feita através do método de Lagrange, afim de que se tivesse maior fidelidade no modelo, ou seja, evitar desconsiderar parâmetros que podem interferir posteriormente no controle do sistema.

Pela definição do método de Lagrange:

(1)

Onde:

K é a energia cinética e U a energia potencial do sistema.

A energia cinética do sistema pode ser dividida em duas, sendo uma da bola e outra da calha.

Bola:

(2)

Calha:

(3)

Sendo K a somatória de ambas.

A energia potencial do sistema é apenas uma, na qual:

(4)

Substituindo na definição do método de Lagrange:

(5)

Usando:

(6)

(7)

Substituindo na primeira equação de Lagrange:

(8)

Temos:

(9)

Usando a linearização para a função , na qual seno e de um ângulo pequeno é o próprio ângulo. Usamos a transformada de Laplace para obter a função transferência a partir do modelo.

(10)

Por tanto, obtemos o modelo:

(11)

Para obter de fato a função transferência, devemos substituir os parâmetros em questão. Para obter a massa e o raio da bola com boa precisão, foram feitas três pesagens e três medições do raio e fazendo a média. A pesagem foi feita usando a balança de precisão do Laboratório de Física de próprio CEFET Divinópolis e o raio foi obtido usando o paquímetro digital do Laboratório de Protótipos também do CEFET Divinópolis.

Massa (kg) Raio (m)

1

2

3

Média

O valor do momento de inércia pode ser calculado usando a forma do momento de inércia para uma casca esférica.

(12)

(13)

Então, substituindo os parâmetros encontrados na função transferência e assumindo a gravidade como , temos:

(14)

(15)

Então, finalmente obtemos nosso modelo:

(16)

3 Validação do Modelo

O modelo linear foi validado comparando sua resposta a dois steps seguidos. Sendo o primeiro um valor de 5º e 0,7s depois, um segundo step de -10º. O resultado foi satisfatório, mostrando que o modelo obtido através das equações de Lagrange é uma boa aproximação para o sistema.

Figura 2- Validação do modelo proposto.

A partir dessa validação, pode-se inferir que é aceitável o projeto dos controladores ser feito através do modelo em questão. Ou seja, os compensadores irão fornecer um bom resultado.

No final, observamos